[論文レビュー] Global controllability and stabilization for the nonlinear Schrödinger equation on some compact manifolds of dimension 3

Camille Laurent|ArXiv.org|Mar 10, 2009

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 1被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{T}^3$、$S^3$、$S^2\times S^1$ などのコンパクト3次元多様体上で、幾何的制御と一意継続性の仮定の下、非焦点化非線形シュレーディンガー方程式のグローバル内部可制御性と安定化を確立する。バウルギン空間と2つの異なる手法—ゼロ近傍での局所可制御性と安定化の組み合わせ、および軌道に沿った逐次制御—を用いて、初期状態と目標状態がいずれも$H^1$に属する任意の状態に対して、制御が$L^\infty([0,T], H^1)$に属するものとして、十分に大きな時間における正確な可制御性を証明する。

ABSTRACT

We prove global internal controllability in large time for the nonlinear Schrödinger equation on some compact manifolds of dimension 3. The result is proved under some geometrical assumptions : geometric control and unique continuation. We give some examples where they are fulfilled on $\Tot$, $S^3$ and $S^2 imes S^1$. We prove this by two different methods both inherently interesting. The first one combines stabilization and local controllability near 0. The second one uses successive controls near some trajectories. We also get a regularity result about the control if the data are assumed smoother. If the $H^1$ norm is bounded, it gives a local control in $H^1$ with a smallness assumption only in $L^2$. We use Bourgain spaces.

研究の動機と目的

• 非焦点化非線形シュレーディンガー方程式のコンパクト3次元多様体（$\ mathbb{T}^3$、$S^3$、$S^2\times S^1$ など）上でのグローバル内部可制御性を確立すること。
• 次元3における非線形シュレーディンガー方程式の$H^1$における一様な適切性の問題に取り組むこと。ここで標準的なストリカルツ推移は$s \leq 1$に対して成立しない。
• 幾何的制御集合に支持される制御を含む減衰項を伴うNLS方程式の安定化を証明し、$H^1$ノルムの指数的減衰を導くこと。
• 初期状態と目標状態の正則性が制御の正則性を引き継ぐことを示し、$L^2$ノルムの小さな条件下での$H^1$における局所可制御性を達成すること。
• 幾何的制御と一意継続性の仮定が、$\ mathbb{T}^3$、$S^3$、$S^2\times S^1$ などの特定の多様体上で満たされていることを確認すること。

提案手法

• 非線形シュレーディンガー方程式の$H^1$における低正則性の適切性と制御問題を扱うために、バウルギン空間$X^{s,b}$を用いる。
• 2つの異なる制御戦略を採用する：(1) 減衰項$-a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u$による安定化の後、ゼロ近傍での局所可制御性を適用し、(2) 目標状態に到達するための軌道に沿った逐次制御。
• 観測可能性と可制御性に不可欠な一意継続性を示すために、$L^\infty([-T,T], L^3)$の重みを伴うカルレマン推移を適用する。
• 幾何的制御条件と一意継続性を用いて、線形化系の観測可能性推移を導出し、これを可制御性の証明に用いる。
• 制御集合$\omega$に含まれる$C^\infty(M)$級の切り捨て関数$a(x)$を構成し、$\omega = \{x \in M : a(x) \neq 0\}$を満たすことで、制御が局所化されることを保証する。
• エネルギーおよび分散的推移を用いた$X^{s,b}$フレームワークを通じて、コンパクト性と正則性の伝播を確立し、非線形項の制御を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非焦点化非線形シュレーディンガー方程式が、$\ mathbb{T}^3$、$S^3$、$S^2\times S^1$ などのコンパクト3次元多様体上でグローバル内部可制御性を達成できるか。
• RQ2 特に幾何的制御と一意継続性の仮定の下で、$H^1$における安定化と可制御性を証明できる幾何的・解析的条件は何か。
• RQ3 初期状態と目標状態が$H^1$に有界である場合、$L^2$ノルムの小さな条件下でのみ仮定されたとしても、制御が$L^\infty([0,T], H^1)$に属することを示せるか。
• RQ4 $\ mathbb{T}^3$、$S^3$、$S^2\times S^1$ において、明示的に構成された制御集合とともに、幾何的制御と一意継続性の仮定が満たされているか。
• RQ5 制御戦略として、ゼロ近傍での安定化または軌道に沿った逐次制御を用いることができるか。それぞれのアプローチの利点は何か。

主な発見

• 幾何的制御と一意継続性の仮定の下で、$\ mathbb{T}^3$、$S^3$、$S^2\times S^1$ 上の非焦点化非線形シュレーディンガー方程式に対して、十分に大きな時間におけるグローバル内部可制御性が確立された。
• 任意の$R_0 > 0$に対して、$T > 0$と$C > 0$が存在し、$\|u_0\|_{H^1}, \|u_1\|_{H^1} \leq R_0$を満たすすべての$u_0, u_1 \in H^1(M)$に対して、制御$g \in C([0,T], H^1)$が存在し、$\|g\|_{L^\infty([0,T], H^1)} \leq C$を満たし、$[0,T] \times \overline{\omega}$ に台を持つ。この制御を用いたNLSの解は$u(T) = u_1$を満たす。
• 安定化系$i\partial_t u + \Delta u - a(x)(1-\Delta)^{-1}a(x)\partial_t u = (1+|u|^2)u$は、$H^1$ノルムの指数的減衰を示す：$\|u(t)\|_{H^1} \leq C e^{-\gamma t} \|u_0\|_{H^1}$（$\gamma > 0$）。
• 制御は正則性を引き継ぐ：初期状態と目標状態が$H^1$に属する場合、制御は$L^\infty([0,T], H^1)$に属する。局所可制御性には$L^2$ノルムの小さな条件のみが必要である。
• 幾何的制御と一意継続性の仮定は、$\ mathbb{T}^3$（面の近傍）、$S^3$（$x_4 = 0$の赤道近傍）、$S^2\times S^1$（$S^2$の赤道近傍と$S^1$の区間）で確認された。
• 一意継続性を証明するために、$L^\infty([-T,T], L^3)$の重みを伴うカルレマン推移が用いられ、これが観測可能性を示し、結果として可制御性が導かれた。