[論文レビュー] Global convergence of Newton's method for the regularized $p$-Stokes equations

Niko Schmidt|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2023

Iterative Methods for Nonlinear Equations被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、滑沢力学における正則化された p-ストークス方程式に対して、正確かつ近似的なステップサイズ制御のための凸汎関数を用いた、無限次元における q-超線形収束性を有するニュートン法を提案する。この手法は、ピカール反復よりも高速な収束を達成し、フレシェ微分可能性と正則化を用いた収束の証明がなされ、メッシュ解像度依存の精度で ISMIP-HOM B 実験において数値的に検証されている。

ABSTRACT

The motion of glaciers can be simulated with the $p$-Stokes equations. Up to now, Newton's method to solve these equations has been analyzed in finite-dimensional settings only. We analyze the problem in infinite dimensions to gain a new viewpoint. We do that by proving global convergence of the infinite-dimensional Newton's method with Armijo step sizes to the solution of these equations. We only have to add an arbitrarily small diffusion term for this convergence result. We prove that the additional diffusion term only causes minor differences in the solution compared to the original $p$-Stokes equations under the assumption of some regularity. Finally, we test our algorithms on two experiments: A reformulation of the experiment ISMIP-HOM $B$ without sliding and a block with sliding. For the former, the approximation of exact step sizes for the Picard iteration and exact step sizes and Armijo step sizes for Newton's method are superior in the experiment compared to the Picard iteration. For the latter experiment, Newton's method with Armijo step sizes needs many iterations until it converges fast to the solution. Thus, Newton's method with approximately exact step sizes is better than Armijo step sizes in this experiment.

研究の動機と目的

• 氷河流れをモデル化する p-ストークス方程式の解法を高速化し、氷棚モデルにおける計算コストを削減すること。
• 正則化された p-ストークス方程式に対して、無限次元設定におけるニュートン法のグローバル q-超線形収束を確立すること。
• 小さな拡散項の導入によりフレシェ微分可能性が保証され、物理的解の変化を最小限に抑えつつ収束を保証できることを示すこと。
• ニュートン法（Armijo線探索および近似正確ステップサイズ）とピカール反復の性能を、数値実験において比較すること。
• 正則化パラメータがゼロに近づく際に、正則化された解が真の p-ストークス解に収束することを検証すること。

提案手法

• 凸汎関数の最小化問題に p-ストークス問題を再定式化し、その逆微分を用いて正確なステップサイズを計算可能にする。
• 1 < p < 2 の範囲で p-ストークス作用素のフレシェ微分可能性を保証するため、任意の小さな拡散項を導入する。
• グローバル収束を保証するため、凸汎関数をメリット関数として Armijo 線探索を適用する。
• 凸汎関数の方向微分を用いて正確ステップサイズの近似を実行し、計算コストを削減する。
• 有限要素法を用いて変分形式を離散化し、得られた線形系を LU 分解で解く。
• 正則化パラメータがゼロに近づく際、正則化された解が Lebesgue 空間において元の p-ストークス解に収束することを検証する。

Figure 1. Considered domain in our experiment.

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ニュートン法は、無限次元関数空間における p-ストークス方程式に対して、グローバル q-超線形収束を達成できるか？
• RQ2 小さな拡散項の追加は、物理的解を保存しつつ微分可能性と収束性を可能にするか？
• RQ3 ニュートン法（Armijo線探索および近似正確ステップサイズ）とピカール反復の間で、収束速度および精度の面でどの程度性能が異なるか？
• RQ4 ニュートン法（Armijo線探索）の精度は、メッシュ解像度にどの程度依存するか？
• RQ5 凸汎関数を用いたステップサイズの近似は、最小限の計算オーバーヘッドで効果的に機能するか？

主な発見

• Armijo線探索を用いたニュートン法は、正則化された p-ストークス方程式の解に対してグローバル q-超線形収束を達成する。
• 小さな拡散項の追加によりフレシェ微分可能性が保証され、収束解析が可能となり、解への影響は最小限に抑えられる。
• 正則化パラメータがゼロに近づく際、正則化された解は Lebesgue 空間において元の p-ストークス方程式の解に収束する。
• ISMIP-HOM B 実験における数値実験では、ニュートン法（Armijo線探索）がピカール反復よりも高速に収束し、残差誤差を1000倍以上削減する。
• ニュートン法（Armijo線探索）の精度は、正確ステップサイズの近似よりもメッシュ解像度により敏感である。
• 凸汎関数に基づくステップサイズ制御は初期反復では効果的だが、汎関数値が飽和すると効果が薄れ、残差低減の限界が顕在化する。

Figure 2. The velocity norms at the surface are shown in the left figure. The velocity field is shown in the right figure.