[論文レビュー] Global existence and steady states of a two competing species Keller-Segel chemotaxis model

Jia Hu, Qi Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2014

Mathematical Biology Tumor Growth被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ロットカ・ヴォルテラ力学とノイマン境界条件を備えた1次元2種類のキラー＝セゲルキレアチスモデルに対して、古典的解のグローバル存在および一様有界性を確立する。分岐理論を用いて、非定常正の定常状態の存在を証明し、キレアチス強度とドメイン長さに応じた安定性を特定する。その結果、小さなドメインでは単調な安定状態が、大きなドメインでは非単調なパターンが支持されることが示された。

ABSTRACT

We study an one{dimensional quasilinear system proposed by J. Tello and M. Winkler [19] which models the population dynamics of two competing species attracted by the same chemical. The kinetics terms of the interacting species are chosen to be the Lotka{Volterra type. We prove the existence of global bounded and classical solutions for all chemoattraction rates. Under homogeneous Neumann boundary conditions, we establish the existence of nonconstant steady states by local bifurcation theory. The stability of the bifurcating solutions is also obtained when the diffusivity of both species is large. Finally, we perform extensive numerical studies to demonstrate the formation of stable positive steady states with various interesting spatial structures.

研究の動機と目的

• 1次元における完全な放物型2種類キラー＝セゲルモデルの古典的解のグローバル存在および一様有界性を確立すること。
• ノイマン境界条件下で分岐理論を用いて、非定常正の定常状態の存在を調査すること。
• 分岐する定常状態の安定性を特定し、単調または非単調な空間パターンがどのように発生するかの条件を同定すること。
• キレアチス強度とドメインサイズに基づく安定な波モード選択の理論的メカニズムを提供すること。
• 複雑な空間時間的パターンを広くシミュレートすることで、理論的知見を検証すること。

提案手法

• 1次元の準線形放物型系 (1.1) を分析し、共通の化学物質へのキレアチスを伴う2種の競争的種のモデルを扱う。
• クランダル＝ラビノヴィッツの分岐理論を適用し、臨界キレアチス値における均一平衡から非定常正の定常状態が分岐することを証明する。
• 分岐パラメータの明示的公式を導出し、臨界定数 $\mathcal{K}_2$ を計算して、分岐分岐の向きを特定する。
• チューリング不安定性解析を用いて、キレアチスまたは対流効果によって均一定常状態が不安定化する条件を同定する。
• 理論的予測の妥当性を検証し、時間周期的およびスパイク様の空間パターンを探索するために数値シミュレーションを実施する。
• ドメイン長さ $L$ およびキレアチス強度 $\chi$, $\xi$ に依存するパターン形成の依存関係を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な放物型2種類キラー＝セゲル系は、どのような条件下でグローバルに有界な古典的解を許容するか？
• RQ2 1次元モデルにおいて、非定常正の定常状態が分岐によって発生する条件は何か？
• RQ3 分岐する定常状態の安定性は、ドメイン長さ $L$ およびキレアチス強度 $\chi$, $\xi$ にどのように依存するか？
• RQ4 均一状態が不安定化する際に、どの空間波モード（例：$\cos(k\pi x/L)$）が安定な空間パターンとして選択されるか？
• RQ5 時間周期的構造やスパイク形成を含む、どのような複雑な空間時間的パターンが系に出現するか？また、それらはモデルパラメータにどのように依存するか？

主な発見

• 与えられた条件下で、解の爆発が発生しないことを保証するため、すべての時間においてグローバルに有界な古典的解が存在する。
• キレアチス強度 $\chi$ が臨界閾値 $\chi_0 = \min_k \{\tilde{\chi}_k, \hat{\chi}_k\}$ を超えると、均一平衡から非定常正の定常状態が分岐によって存在する。
• ドメイン長さ $L$ が小さい場合、安定な定常状態は単調である。$L$ が大きい場合には、高次モードの分岐により非単調な定常状態が出現する。
• 分岐する解の安定性は、分岐分岐の向きを制御する定数 $\mathcal{K}_2$ の符号によって決定される。
• $\chi_0 = \chi_{k_0} < \min_k \hat{\chi}_k$ の場合、系は分岐点付近で $k_0$-モードを安定な空間パターンとして選択する。
• 数値シミュレーションにより、安定な正の定常状態、時間周期的パターン、および合体や出現するスパイクを含む複雑な構造の出現が確認された。