[論文レビュー] Global existence for strong solutions of viscous Burgers equation. (1) The bounded case

Jérémie Unterberger|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、最大原理と定量的シュードァー推定を用いて、任意の次元における粘性バーガー方程式の古典的解について、グローバル存在と一様なバインディングを確立する。滑らかで有界な初期データおよび外力項を想定した場合、外力がゼロのとき、エネルギーを用いない解析により指数的成長を回避し、時間に依存しないノルムバインディングを持つグローバルに定義された解が得られることを示す。

ABSTRACT

We prove that the viscous Burgers equation has a globally defined smooth solution in all dimensions provided the initial condition and the forcing term are smooth and bounded together with their derivatives. Such solutions may have infinite energy. The proof does not rely on energy estimates, but on a combination of the maximum principle and quantitative Schauder estimates. We obtain precise bounds on the sup norm of the solution and its derivatives, making it plain that there is no exponential increase in time. In particular, these bounds are time-independent if the forcing term is zero. To get a classical solution, it suffices to assume that the initial condition and the forcing term have bounded derivatives up to order two.

研究の動機と目的

• 滑らかで有界な初期データおよび外力項を想定した場合、任意の空間次元における粘性バーガー方程式の古典的解のグローバル存在を証明すること。
• 特に外力がゼロの場合に、時間に依存しない明示的なバインディングを解およびその微分について確立すること。指数的成長を回避すること。
• エネルギー推定に依存しない枠組みを構築すること。代わりに最大原理と定量的ホルダー推定を用いること。
• 解およびその2階微分までの一階および二階微分のノルムとホルダー半ノルムについて、正確な定量的制御を提供すること。

提案手法

• 反復スキームを用い、直前の反復解を係数とする線形化された輸送方程式を解く。
• 最大原理を用いて、解およびその一階微分を時間に一様に制御する。
• 定量的シュードァー推定を用いて、二階微分および時間微分のホルダー半ノルムをバインディングする。
• 放物型スケーリングの議論により、ノルムの増大を時間に依存する基準スケールに関連づける。主なパラメータ $ K(t) $ は初期データおよび外力の影響を統合的に記述する。
• 空間時空のデイアディック分解と補間不等式を用いて、勾配および二階微分のホルダーノルムを制御する。
• 反復スキームの短期的収束と長期的時間一様バインディングを区別する分析を行う。反復インデックスにおける指数的減衰を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー推定に依存しない形で、粘性バーガー方程式のグローバル古典的解を構成することは可能か？
• RQ2 有界な初期データおよび外力項のもとで、解のノルムおよび微分の正確な定量的バインディングは何か？
• RQ3 外力項がゼロの場合、解は時間に依存せずに有界のままであるか。もしそうならば、時間に依存しない形でその有界性を定量的に示せるか？
• RQ4 反復スキームの下で、解およびその微分のホルダーノルムはどのように振る舞い、時間に一様に制御可能か？
• RQ5 放物型スケーリングは、解およびその微分の時間に依存しないバインディングを導出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 解 $ u $ は $ \|u_t^{(m)}\|_{\infty} \leq K_0(t) $ を満たし、$ K_0(t) $ はすべての $ t \geq 0 $ で有限であるため、グローバル存在が保証される。
• 勾配は $ \|\nabla u_t^{(m)}\|_{\infty} \leq K(t) $ を満たし、二階微分は $ (cK(t))^{3/2} $ でバインディングされる。ここで $ c = c(d,\beta) $ である。
• 外力 $ g = 0 $ の場合、バインディング $ K_0(t) $、$ K_1(t) $、$ K_2(t) $ は時間に依存せず、時間に伴う指数的成長がないことを示す。
• 反復スキームは時間に一様に収束し、$ \|v_t^{(m)}\|_{\infty} \leq cK_0(T)(cK(T)t/m)^m $ を満たす。固定された $ t $ に対して、$ m $ における指数的減衰が示される。
• シュードァー推定により、$ \nabla^2 u $ および $ \partial_t u $ のホルダーノルムが得られ、その減衰率は問題の放物型スケーリングに依存する。
• エネルギーに基づく推定を避け、代わりに最大原理と補間不等式を用いて、2階までのすべての微分について時間に一様なバインディングを導出する。