[論文レビュー] Global Gorenstein dimensions of polynomial rings and of direct product of rings

Driss Bennis, Najib Mahdou|ArXiv.org|Dec 2, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Gorenstein同調次元へHilbertのシジージー定理を拡張し、多項式環 R[X₁,…,Xₙ] のGorensteinグローバル次元が R のGorensteinグローバル次元に n を加えたものに等しいことを証明する。さらに、直接積を用いることで、有限のGorenstein弱次元と無限の古典的弱次元をもつ非ネーター的例を構成し、Gorenstein環理論における長年のギャップを解消する。

ABSTRACT

In this paper, we extend the well-known Hilbert's syzygy theorem to the Gorenstein homological dimensions of rings. Also, we study the Gorenstein homological dimensions of direct product of rings, which gives examples of non-Noetherian rings of finite Gorenstein dimensions and infinite classical weak dimension.

研究の動機と目的

• 多項式環のGorenstein同調次元へHilbertのシジージー定理を一般化すること。
• 直接積の下でのGorensteinグローバル次元および弱次元の振る舞いを調査すること。
• 有限のGorenstein弱次元と無限の古典的弱次元をもつ非ネーター環を構成すること。
• ネーター的でない設定におけるGorenstein次元理論の理解を精緻化する例を提供すること。

提案手法

• Gorenstein射影的および平坦的モジュールを用いて、Gorenstein射影的および平坦的次元を特徴付ける。
• 射影的または入射的モジュールを含む完全系列を用いたGorenstein次元の特徴付けを適用する。
• 直接積の構造を用いて、非ネーター的設定におけるGorenstein次元を分析する。
• 特に [3, 第六章、演習10] を用いて、連続環および積環における平坦次元に関する既知の結果を活用する。
• 積環のGorenstein弱次元がその因子のGorenstein弱次元の上限に等しいという事実を用いる。
• 任意の環 R に対して G-PD(R) = G-ID(R) が成り立つことと、Gorenstein射影的／入射的次元の双対性を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hilbertのシジージー定理は、多項式環におけるGorensteinグローバル次元および弱次元へ拡張可能か？
• RQ2 環の直接積は、有限のGorenstein弱次元と無限の古典的弱次元をもつ非ネーター的例を生成可能か？
• RQ3 環のGorensteinグローバル次元とその多項式拡張のGorensteinグローバル次元との正確な関係は何か？
• RQ4 有限個の環の直接積の下でGorenstein次元はどのように振る舞うか？
• RQ5 任意の有限のGorenstein弱次元と無限の古典的弱次元をもつ非ネーター環の族を構成可能か？

主な発見

• 多項式環 R[X₁,…,Xₙ] のGorensteinグローバル次元は、ちょうど G-gldim(R) + n に等しい。
• 有限個の環の直接積のGorenstein弱次元は、その因子のGorenstein弱次元の上限に等しい。
• 有限のGorenstein弱次元と無限の古典的弱次元をもつ非ネーター的連続環が存在する。
• ヒーレディティではない半ヒーレディティ環 S に対して、環 R × S[X₁,…,Xₙ] は G-gldim > n+1 かつ wdims = ∞ を満たすが、G-wdim = n+1 である。
• このような環の構成は、半ヒーレディティ環が安定的に連続的であることから、その多項式拡張の連続性を保証するという事実に依存している。
• 本論文は、G-gldim(R × S[X₁,…,Xₙ]) ≤ n+1 ならば S はヒーレディティ的でなければならないことを証明しており、S がヒーレディティ的でないという仮定に矛盾する。