[논문 리뷰] Global $μ$-stability and finite-time control of octonion-valued neural networks with unbounded delays

Jingzhu Wang, Xiwei Liu|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 25.

Neural Networks Stability and Synchronization참고 문헌 29인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 무한대가 되는 비동기적 시간에 따라 변하는 지연을 가진 옥타니온 수치 신경망(OVNNs)에 대해 전역 μ-안정성 및 유한시간 제어 기준을 수립한다. OVNN을 여덟 개인 등가의 실수값 신경망(RVNNs)으로 분해함으로써, 일반화된 노름과 코시 수렴 원리를 사용하여 평형점의 존재성, 유일성 및 전역 μ-안정성에 대한 충분조건을 도출한다. 유한시간 안정성은 적응형 제어기를 포함하는 이중 단계 제어 전략을 통해 확보되며, 이는 무한대 지연이 존재하는 상황에서도 유한 시간 내에 수렴함을 보장한다.

ABSTRACT

Octonion-valued neural networks (OVNNs) are a type of neural networks for which the states and weights are octonions. In this paper, the global $μ$-stability and finite-time stability problems for octonion-valued neural networks are considered under unbounded and asynchronous time-varying delays. To avoid the non-communicative and non-associative multiplication feature of the octonions, we firstly decompose the OVNNs into eight real-valued neural networks (RVNNs) equivalently. Through the use of generalized norm and the Cauchy convergence principle, we obtain the sufficient criteria which assure the existence, uniqueness of the equilibrium point and global $μ$-stability of OVNNs. By adding controllers, the criteria to ensure the finite-time stability for OVNNs are presented by dividing the analysis of finite-time stability process into two phases. Furthermore, we also prove the adaptive finite time stability theory of above networks. At last, the simulation results of specified examples is given to substantiate the effectiveness and correctness of the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 무한대이자 비동기적인 시간에 따라 변하는 지연 하에서 옥타니온 수치 신경망(OVNNs)에 대한 안정성 분석의 부족을 해결하기 위해.
• 옥타니온 대수의 비가환성 및 비결합성을 극복하기 위해 OVNNs를 여덟 개의 실수값 시스템으로 분해함으로써.
• 무한대 지연을 가진 OVNNs의 전역 μ-안정성 및 유한시간 안정성에 대한 충분조건을 수립하기 위해.
• 무한대 지연 영향에도 불구하고 유한시간 수렴을 보장하는 적응형 제어기를 설계하기 위해.
• 이론적 결과를 시뮬레이션 예제를 통해 검증하여 정확성과 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 옥타니온 수치 신경망(OVNN)을 여덟 개의 등가의 실수값 신경망(RVNNs)으로 분해하여 옥타니온에서의 비가환성 및 비결합성 곱셈 문제를 피하기 위해.
• 일반화된 노름과 코시 수렴 원리를 적용하여 평형점의 존재성, 유일성 및 전역 μ-안정성에 대한 충분조건을 유도하기 위해.
• 이중 단계 유한시간 안정성 분석을 도입: 단계 I은 상태 노름의 유계성을 확보하고, 단계 II는 적응형 제어 항을 포함한 리아푸노프 함수를 사용하여 유한시간 수렴을 달성하기 위해.
• 적응형 이득 $ \tilde{\theta}(t) $, $ \theta(t) $, 및 $ \tilde{\theta}^* $를 포함하는 복합 리아푸노프 함수 $ Y_3(t) $ 및 $ Y_4(t) $를 정의하며, 시간에 따라 변하는 제어 강도를 적용하기 위해.
• 리아푸노프 함수의 최대값의 도함수를 사용하여 음의 정의성을 증명함으로써, 평형점으로의 유한시간 수렴을 보장하기 위해.
• 세 개의 제어 항을 포함하는 적응형 제어 법칙을 적용하여 무한대 지연 하에서도 시스템을 안정화시키며, 적응형 이득이 수렴하고 더 이상 증가하지 않음을 보장하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한대이자 비동기적인 시간에 따라 변하는 지연을 가진 옥타니온 수치 신경망에 대해 전역 μ-안정성이 보장될 수 있는가?
• RQ2 옥타니온 대수의 비가환성 및 비결합성 특성을 안정성 분석에서 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ3 무한대 지연을 가진 OVNNs에서 유한시간 안정성을 확보하기 위한 제어 전략은 무엇인가?
• RQ4 무한대 지연 영향에도 불구하고 유한시간 수렴을 보장하면서 안정성을 유지할 수 있는 적응형 제어 법칙을 설계할 수 있는가?
• RQ5 적응형 제어 이득이 더 이상 증가하지 않도록 보장하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 일반화된 노름과 코시 수렴 원리를 사용하여 무한대 지연을 가진 OVNNs의 평형점 존재성 및 유일성에 대한 충분조건를 도출하였다.
• 8개의 RVNNs로 분해하고 노름 기반 분석을 통해 무한대이자 비동기적인 시간에 따라 변하는 지연을 가진 OVNNs의 전역 μ-안정성이 증명되었다.
• 유한시간 안정성은 두 단계로 달성된다: 단계 I은 상태 노름의 유계성을 확보하고, 단계 II는 적응형 제어기를 사용하여 평형점으로의 수렴을 유한 시간 내에 보장한다.
• 적응형 제어 이득 $ \tilde{\theta}(t) $, $ \theta(t) $, 및 $ \tilde{\theta}^* $가 결국 증가를 멈추는 것으로 나타났으며, 이는 발산 없이 안정성을 확보함을 의미한다.
• 이론적 결과는 시뮬레이션 예제를 통해 정확성과 효과성을 입증하였으며, 제안된 기준 및 제어 전략의 타당성을 검증하였다.
• 평형점으로의 수렴은 유한 시간 내에 발생하며, 노름 $ \|\hat{Y}(t)\|_{\{\Lambda,\infty\}} $는 초기 조건 및 제어 파rameter에 따라 영향을 받는 유한 시간 영역 $ T_4 $ 내에 0에 도달한다.