[論文レビュー] Global Strong Solutions to Incompressible Ericksen-Leslie System in $\mathbb R^3$

Wenya Ma, Jinkai Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、初期データの小さな条件の下で、$\mathbb{R}^3$ 内の非圧縮性エリクセン＝レズリー系に対して、強い解の全球的存在および一意性を確立する。具体的には、速度と配向子勾配の $L^2$ ノルムの積、および速度と配向子の2階勾配の $H^1$ 半ノルムの積が十分に小さくなる条件を課す。この結果は、エネルギー推定と臨界スケーリング不変空間におけるブートストラップ論法によって得られる。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Cauchy problem to the Ericksen-Leslie system of liquid crystals in $\mathbb R^3$. Global well-posedness of strong solutions are obtained under the condition that the product of $\|u_0\|_2+\| abla d_0\|_2$ and $\| abla u_0\|_2+\| abla^2d_0\|_2$ is suitably small. This result can be viewed as a supplement to the local existence and blow up criteria discussed in \cite{Hong1}.

研究の動機と目的

• 非圧縮性エリクセン＝レズリー系の $\mathbb{R}^3$ における強い解の全球的適切性を確立すること。
• 先行研究 [9] で確立された局所的解の存在および爆発基準を、小さな初期データの条件下で全球的解にまで拡張すること。
• 長期間にわたる解の存在と正則性を保証する初期データに対する臨界的な小さな条件を同定すること。
• 三次元における欠陥のないネマチック液体結晶の力学的挙動を厳密に扱うフレームワークを提供すること。

提案手法

• エネルギー推定を導出し、$\|u\|_{H^1}^2 + \|\nabla d\|_{H^1}^2$ および高階ノルムの時間発展を考察すること。
• エネルギー不等式から得られる一様な時間不変の境界を用いて、ブートストラップ論法を適用すること。
• 小さな条件のスケーリング不変性を用いて、全球的解のための臨界空間を同定すること。
• Oseen-Frankエネルギーの構造と配向子方程式の勾配流れの性質を活用し、非線形項を制御すること。
• 局所的解理論と連続性の議論に依拠して、解を全球的に拡張すること。
• Gronwall型不等式と初期データの小さな仮定を用いて、一様な推定を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性エリクセン＝レズリー系が $\mathbb{R}^3$ で強い解を全球的に持つための初期データの小さな条件は何か？
• RQ2 先行研究 [9] で得られた局所的解の存在および爆発基準を、エネルギー推定と小さな仮定を用いて全球的解にまで拡張できるか？
• RQ3 初期データの小さな条件はスケーリング不変であるか？また、それが全球的適切性のための臨界空間に対応するか？
• RQ4 ナビエ＝ストークス方程式と調和写像流れ成分の結合は、解の長期間挙動にどのように影響するか？
• RQ5 Oseen-Frankエネルギー構造は、系の非線形項を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• 初期データが $(\|u_0\|_2 + \|\nabla d_0\|_2)(\|\nabla u_0\|_2 + \|\nabla^2 d_0\|_2) \leq \varepsilon_0$ を満たす場合、$\mathbb{R}^3$ 内の非圧縮性エリクセン＝レズリー系に対して強い解が全球的に存在する。ここで $\varepsilon_0$ は $k_1, k_2, k_3$ に依存する小さな正の定数である。
• 小さな条件は変換 $u_\lambda(x,t) = \lambda u(\lambda x, \lambda^2 t)$, $d_\lambda(x,t) = d(\lambda x, \lambda^2 t)$ に対してスケーリング不変であり、解が臨界空間に属することを示唆している。
• 小さな条件のもとで、時間に依存しない $H^1$ 型推定が $u$ および $\nabla d$ に対して一様に成立する。
• 解はすべての時間において $H^1$ ノルムで有界であり、爆発を防ぎ、全球的解の存在を保証する。
• 最大存在時間 $T^*$ が無限大であることが示され、有限の $T^*$ との矛盾が生じるため、全球的解の存在が証明される。
• 局所的強い解の一意性から、全球的強い解の一意性が導かれる。