[論文レビュー] Global weak solutions of PDEs for compressible media: A compactness criterion to cover new physical situations

Didier Bresch, Pierre‐Emmanuel Jabin|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非単調で熱力学的に不安定な圧力則を有する圧縮性PDE系における密度の新たなコンパクト性基準を確立し、一般圧力則のもとで弱解の大域的存在を可能にする。重み付き正則性推定と連続性方程式の翻訳に基づく新規解析を導入することで、生物学的組織や異方的応力を有する多孔質媒体といった複雑な物理系へ、圧縮性ストークス理論における長年の限界を克服して弱解の存在理論を拡張する。

ABSTRACT

This short paper is an introduction of the memoir recently written by the two authors (see [D.Bresch., P.--E. Jabin, arXiv:1507.04629, (2015)]) which concerns the resolution of two longstanding problems: Global existence of weak solutions for compressible Navier-Stokes equations with thermodynamically unstable pressure and with anisotropic stress tensor. We focus here on a Stokes-like system which can for instance model flows in a compressible tissue in biology or in a compressible porous media in petroleum engineering. This allows us to explain, on a simpler but still relevant and important system, the tools recently introduced by the authors and to discuss the important results that have been obtained on the compressible Navier--Stokes equations. It is finally a real pleasure to dedicate this paper to G. Metivier for his 65's Birthday. The article will appear in the corresponding special issue, Springer INdAM-Series, Eds F. Colombini, D. Del Santos, D. Lannes (2016).

研究の動機と目的

• 熱力学的に不安定な圧力則を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における弱解の大域的存在という長年の未解決問題を解消すること。
• 単調圧力則を超えて、生物学的組織や多孔質媒体における引力的・斥力的相互作用といった複雑な物理的挙動をカバーする弱解理論を拡張すること。
• 一般異方的応力テンソルを有する系に適用可能な、連続性方程式における密度のための新しいコンパクト性フレームワークを構築すること。
• 特に低正則性設定において、非標準的状態方程式を有する圧縮性流れを解析するための基盤的ツールセットを提供すること。
• 古典的レーラー型存在理論を非単調圧力則および異方的粘性効果を含む形に一般化すること。

提案手法

• PDE系の構造から導かれる重み付き正則性推定を組み込むことで、連続性方程式における密度のための新規コンパクト性基準を導入する。
• 速度場の振動を制御するための翻訳作用素 $ D_h $ を用い、古典的な最大関数推定をより洗練された $ L^2 $-ベースの平方関数解析に置き換える。
• 密度における正則性の伝播を可能にする $ dh/h $-重み付き $ L^2 $-ノルムを適用し、連続性方程式における弱極限の制御を可能にする。
• フーリエ解析を用いて、翻訳下での $ D_h u $ の $ L^2 $-ノルムの差を推定し、$ s<1 $ に対して $ W^{s,1} $ で可積分なカーネル $ L $ の性質を活用する。
• 等方的粘性を対称行列 $ A(t) = \mu\,\text{Id} + \delta A(t) $ に置き換えることで、微小摂動下でも強制性を保証する異方的応力テンソルを用いたエネルギー型不等式を確立する。
• 局所的最大作用素 $ M $ を用いて関数の点ごとの差を勾配制御により評価し、主要な正則性推定の導出を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単調で熱力学的に不安定な圧力則を有する圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、大域的弱解が存在しうるか？
• RQ2 圧力則が単調性や標準的凸性を欠く場合、連続性方程式における密度のコンパクト性はどのように確立されるか？
• RQ3 一般圧力則を有する圧縮性流れモデルにおける異方的応力テンソルを取り扱うために、どのような新しい解析的ツールが必要か？
• RQ4 古典的レーラー存在枠組みは、非単調圧力則および非等方的粘性を含む系へ拡張可能か？
• RQ5 一般圧力則のもとで、大域的弱解の存在を保証するためのソース項 $ S $ および初期データの最小正則性は何か？

主な発見

• 非単調圧力則 $ C^{-1}\rho^\gamma - C \leq P(\rho) \leq C\rho^\gamma + C $ および $ |P'(\rho)| \leq \bar{P}\rho^{\gamma-1} $ を満たす圧縮性ストークス型系に対して、大域的弱解が存在する。$ \gamma > 1 $ を満たす。
• 密度 $ \rho $ は $ L^\infty(0,T;L^\gamma) \cap L^{2\gamma}((0,T)\times \mathbb{T}^d) $ に属し、$ L^\gamma $ 値をとる時間に関して弱連続であるため、強いコンパクト性が保証される。
• 速度 $ u $ は $ L^2(0,T;H^1) $ に属し、系のすべての項は分布的意味で適切に定義されており、$ \rho u \in L^1 $ および $ P(\rho) \in L^1 $ が成り立つ。
• 作用素 $ D_h $ と $ dh/h $-重み付き $ L^2 $-推定に基づく新規コンパクト性基準により、非単調圧力下でも密度の振動が制御可能である。
• 異方的応力テンソル $ A(t) $ を有する完全ナビエ＝ストークス系に対しては、$ \|\delta A\|_{\infty} \leq C_\star (2\mu + \lambda) $ および $ \gamma > \frac{d}{2}\left(1 + \frac{1}{d} + \sqrt{1 + \frac{1}{d^2}}\right) $ を満たす場合、大域的弱解が存在する。これにより強制性が保証される。
• エネルギー不等式は異方的形に一般化され、$ E(\rho,u)(\tau) + \int_0^\tau \int_\Omega (\nabla_x u^T A \nabla u + (\mu+\lambda)|\text{div}\,u|^2) \leq E_0 $ を満たし、エネルギー散逸が保存される。