[論文レビュー] Global Well-posedness for The 2D Boussinesq System Without Heat Diffusion and With Either Anisotropic Viscosity or Inviscid Voigt-$α$ Regularization

Adam Larios, Evelyn Lunasin+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2010

Navier-Stokes equation solutions参考文献 36被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、2次元Boussinesq系において熱拡散なしで、2つの設定下で大域的良設定性を確立する：(1) 異方的粘性（水平方向でのみ粘性）、(2) 無粘性Voigt-α正則化。著者は、パラプロダクト計算に依存しない、Yudovich型の技法と変換θ = Δξを用いた新規な一意性証明を導入する。主な貢献は、初期データに対する最小限の正則性仮定のもとで大域的解の存在と一意性を示し、Voigt正則化に基づく新たな爆発基準を提示することにある。

ABSTRACT

We establish global existence and uniqueness theorems for the two-dimensional non-diffusive Boussinesq system with viscosity only in the horizontal direction, which arises in Ocean dynamics. This work improves the global well-posedness results established recently by R. Danchin and M. Paicu for the Boussinesq system with anisotropic viscosity and zero diffusion. Although we follow some of their ideas, in proving the uniqueness result, we have used an alternative approach by writing the transported temperature (density) as $θ= Δξ$ and adapting the techniques of V. Yudovich for the 2D incompressible Euler equations. This new idea allows us to establish uniqueness results with fewer assumptions on the initial data for the transported quantity $θ$. Furthermore, this new technique allows us to establish uniqueness results without having to resort to the paraproduct calculus of J. Bony. We also propose an inviscid $α$-regularization for the two-dimensional inviscid, non-diffusive Boussinesq system of equations, which we call the Boussinesq-Voigt equations. Global regularity of this system is established. Moreover, we establish the convergence of solutions of the Boussinesq-Voigt model to the corresponding solutions of the two-dimensional Boussinesq system of equations for inviscid flow without heat (density) diffusion on the interval of existence of the latter. Furthermore, we derive a criterion for finite-time blow-up of the solutions to the inviscid, non-diffusive 2D Boussinesq system based on this inviscid Voigt regularization. Finally, we propose a Voigt-$α$ regularization for the inviscid 3D Boussinesq equations with diffusion, and prove its global well-posedness. It is worth mentioning that our results are also valid in the presence of the $β$-plane approximation of the Coriolis force.

研究の動機と目的

• 初期温度に高いSobolev正則性を仮定せず、水平方向のみに粘性を持つ2次元非拡散Boussinesq系の、大域的解の存在と一意性を確立すること。
• θ = Δξの変換を用い、2次元Euler方程式にYudovichの手法を適応することで、パラプロダクト計算に依存しない新規な一意性証明技法を開発すること。
• 非拡散2次元Boussinesq系に対する無粘性α-正則化としてのBoussinesq-Voigtモデルを導入し、その大域的正則性を証明すること。
• Voigt正則化の解の収束に基づき、元の無粘性・非拡散2次元Boussinesq系に対する有限時刻での爆発基準を導出すること。
• Voigt正則化手法を拡散を伴う3次元Boussinesq方程式に応用し、その場合の大域的良設定性を証明すること。

提案手法

• 2次元非拡散Boussinesq系に対する無粘性α-正則化としてBoussinesq-Voigt方程式を導入し、運動量方程式に−α²Δu項を追加する。
• θ = Δξの変換を用いて、温度方程式をストリーム関数に類似した変数ξの形に再定式化し、Yudovich型エネルギー推定の適用を可能にする。
• 2つの解の差にグローナルの不等式を適用し、速度と変換された温度変数ξのエネルギー推定を組み合わせることで一意性を証明する。
• 温度に関してL^pおよびL^∞空間における事前推定を用い、正則化パrameter αに依存しないバインディングを確立する。
• Hopf-Stampacchia技法とBrezis-Gallouet型不等式を用いて、α → 0の極限における速度および温度のL^∞ノルムを制御する。
• Voigt正則化系の解が、元の系の古典解の存在区間内においてα → 0のとき元の系に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期温度に高い正則性を仮定せず、水平方向にのみ粘性を持つ2次元非拡散Boussinesq系に対して、大域的良設定性を確立できるか？
• RQ2 パラプロダクト計算に依存せず、Yudovich型の議論とθ = Δξ変換に依存する新規な一意性証明が可能か？
• RQ3 Boussinesq-Voigtモデル（P^α_{0,0}）は大域的解を有するか？ また、その解はα → 0のとき元の系の古典解に収束するか？
• RQ4 Voigt正則化フレームワークを用いて、元の無粘性・非拡散2次元Boussinesq系に対する有限時刻での爆発基準を導出できるか？
• RQ5 拡散を伴う3次元Boussinesq方程式に対して、Voigt正則化手法を適用した場合、大域的良設定性は保たれるか？

主な発見

• 異方的粘性（ν_x > 0, κ = 0）を有する2次元非拡散Boussinesq系に対して、θ₀ ∈ L^∞であっても、より高いSobolev正則性を仮定せず、大域的解の存在と一意性が確立される。
• θ = Δξの変換とYudovichの手法を用いることで、パラプロダクト計算に依存しない一意性証明が可能となり、初期データに対する仮定を弱めることが可能になる。
• Boussinesq-Voigtモデル（P^α_{0,0}）はすべてのα > 0に対して大域的良設定であり、解は時間的および空間的ノルムに関してαに依存しない一様有界性を示す。
• Boussinesq-Voigtモデルの解は、元の2次元非拡散系の古典解の存在区間内において、α → 0のとき元の系に収束する。
• 有限時刻での爆発基準が導出された：∇θのL^∞ノルムが速く増大する場合、元の系は爆発する可能性があり、これはVoigt正則化系を用いて検出可能である。
• Voigt正則化手法は拡散を伴う3次元Boussinesq方程式に対しても拡張可能であり、その場合の正則化系に対し大域的良設定性が証明される。