[論文レビュー] Global well-posedness of strong solutions to a tropical climate model

Jinkai Li, Edriss S. Titi|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中間対流圏温度と結合されたバロトロピックおよび第一バロクリンモードを有する、原始方程式から導かれた粘性トロピカル気候モデルに対する強い解のグローバル適切性を確立する。温度方程式における拡散性の欠如を克服するため、擬似バロクリンモード速度および補助的効果的粘性フラックスに類似した関数を導入することで、標準的手法よりも低いレベルのエネルギー推定を用いて、存在性、一意性、グローバル正則性を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we consider the Cauchy problem to the TROPIC CLIMATE MODEL derived by Frierson-Majda-Pauluis in [Comm. Math. Sci, Vol. 2 (2004)] which is a coupled system of the barotropic and the first baroclinic modes of the velocity and the typical midtropospheric temperature. The system considered in this paper has viscosities in the momentum equations, but no diffusivity in the temperature equation. We establish here the global well-posedness of strong solutions to this model. In proving the global existence of strong solutions, to overcome the difficulty caused by the absence of the diffusivity in the temperature equation, we introduce a new velocity $w$ (called the pseudo baroclinic velocity), which has more regularities than the original baroclinic mode of the velocity. An auxiliary function $ϕ$, which looks like the effective viscous flux for the compressible Navier-Stokes equations, is also introduced to obtain the $L^\infty$ bound of the temperature. Regarding the uniqueness, we use the idea of performing suitable energy estimates at level one order lower than the natural basic energy estimates for the system.

研究の動機と目的

• 粘性運動量方程式を有するが、温度方程式に拡散性を有さないトロピカル気候モデルに対する強い解のグローバル適切性を確立すること。
• 温度方程式における正則化効果の欠如に起因する課題に対処するため、より高い正則性を有する新しい擬似バロクリンモード速度を導入すること。
• 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における効果的粘性フラックスに類似した補助関数を構築し、温度の $ L^\infty $ ノルムを制御すること。
• 自然なエネルギー枠組みよりも低い正則性レベルでのエネルギー推定を用いて、一意性を証明すること。
• 部分的粘性および拡散性の欠如の下での原始型方程式に対するグローバル存在の理解を拡張すること。

提案手法

• 温度方程式における拡散性の欠如を補うために、正則性を向上させた擬似バロクリンモード速度 $ w $ を導入する。
• 圧縮性ナビエ＝ストークス方程式における効果的粘性フラックスに類似した補助関数 $ \theta $ を定義し、温度の $ L^\infty $ ノルムを制御する。
• 基本エネルギーの1階下の正則性レベルでのエネルギー推定を実行し、一意性を確立する。
• ホルダー、ラジエンツァ、ガリャルド＝ニレングラート、ヤングの不等式を用いて、エネルギー推定における非線形項を制御する。
• 得られた微分不等式に対してグローバル不等式を適用し、解のグローバル存在および有界性を証明する。
• 速度および温度の $ H^1 $ 評価と $ L^\infty $ 制御を組み合わせ、エネルギー推定を閉じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性運動量方程式を有するが、温度方程式に拡散性を有さないトロピカル気候モデルに対して、グローバルな強い解が存在しうるか？
• RQ2 拡散的正則化効果がなければ、温度の $ L^\infty $ ノルムをどのように制御できるか？
• RQ3 正則性の向上とエネルギー推定の閉じるため、どのような新しい速度または補助変数を導入できるか？
• RQ4 標準的なエネルギー枠組みよりも低い正則性レベルでのエネルギー推定がなされた場合でも、強い解の一意性は達成可能か？
• RQ5 水平方向の粘性のみが、このような気候モデルにおける有限時間爆発を防ぐのに十分か？

主な発見

• 初期データ $ (u_0, v_0, \theta_0) \in H^1 \times H^1 \times L^\infty $ で $ \text{div}\,u_0 = 0 $ を満たす場合、$ H^1 \times H^1 \times L^\infty $ 内に一意なグローバル強い解が存在する。
• 温度の $ L^\infty $ ノルムは、効果的粘性フラックスの類似物として機能する補助関数 $ \phi $ を用いて制御される。
• 元のバロクリンモード速度 $ v $ よりも高い正則性を有するように構築された擬似バロクリンモード速度 $ w $ は、非線形項のより良い制御を可能にする。
• 自然な $ H^1 $ フレームワークよりも低い正則性レベルでのエネルギー推定を用いて一意性が証明され、高階数の推定を回避することができる。
• 解はすべての時間において $ H^1 $ ノルムでグローバルに有界であり、グローバル不等式のアプローチによって成長が制御される。
• 温度の拡散性が欠如しているにもかかわらず、粘性項の構造的性質および新たに導入された汎関数のおかげで、グローバル適切性は妨げられない。