[論文レビュー] Gorenstein Fano polytopes arising from order polytopes and chain polytopes

Takayuki Hibi, Kazunori Matsuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、有限部分順序集合 P と Q の順序ポリトープおよびチェーンポリトープから導かれる3つの新しい積分凸ポリトープを研究する。Γ(O(P),−C(Q)) と Γ(C(P),−C(Q)) のEhrhart多項式が一致することを証明し、P と Q が共通の線形拡張を持つとき、3つのポリトープのEhrhart多項式がすべて同一になることを示す。主な貢献は、これらのポリトープがsmooth Fanoであるための完全な特徴付けであり、同じEhrhart多項式と体積を持つ場合でさえ、それらがunimodularに同値でないことを証明している。

ABSTRACT

Richard Stanley introduced the order polytope $\mathcal{O}(P)$ and the chain polytope $\mathcal{C}(P)$ arising from a finite partially ordered set $P$, and showed that the Ehrhart polynomial of $\mathcal{O}(P)$ is equal to that of $\mathcal{C}(P)$. In addition, the unimodular equivalence problem of $\mathcal{O}(P)$ and $\mathcal{C}(P)$ was studied by the first author and Nan Li. In the present paper, three integral convex polytopes $Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{O}(Q))$, $Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{C}(Q))$ and $Γ(\mathcal{C}(P), -\mathcal{C}(Q))$, where $P$ and $Q$ are partially ordered sets with $| P | = | Q |$, will be studied. First, it will be shown that the Ehrhart polynomial of $Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{C}(Q))$ coincides with that of $Γ(\mathcal{C}(P), -\mathcal{C}(Q))$. Furthermore, when $P$ and $Q$ possess a common linear extension, it will be proved that these three convex polytopes have the same Ehrhart polynomial. Second, the problem of characterizing partially ordered sets $P$ and $Q$ for which $Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{O}(Q))$ or $Γ(\mathcal{O}(P), -\mathcal{C}(Q))$ or $Γ(\mathcal{C}(P), -\mathcal{C}(Q))$ is a smooth Fano polytope will be solved. Finally, when these three polytopes are smooth Fano polytopes, the unimodular equivalence problem of these three polytopes will be discussed.

研究の動機と目的

• 部分順序集合から構成された3つの新しいポリトープのEhrhart多項式の同値性を調査すること。
• これらのポリトープがsmooth Fanoポリトープであるための条件を特徴づけること。
• これらのポリトープがsmooth Fanoである場合に、それらのunimodular同値性問題を解決すること。
• 標準的構成ブロック（L, V₂, Ṽ₂）への分解に基づいて、これらのポリトープの正規化体積を分析すること。

提案手法

• 部分順序集合 P および Q のイデアルおよび反鎖からの頂点を用いて、Γ(O(P),−O(Q))、Γ(O(P),−C(Q))、Γ(C(P),−C(Q)) の3つのポリトープを定義する。
• unimodular同値性におけるEhrhart多項式の不変性を用い、順序ポリトープおよびチェーンポリトープの異なる組み合わせから構成されたポリトープを比較する。
• Gorensteinおよびsmooth Fanoポリトープの理論を適用し、特に頂点配置および facet の Z-基底に注目する。
• 明示的なunimodular変換を構成し、それらが頂点集合に与える作用を分析することで、unimodular同値性を否定する。
• Gorenstein Fanoポリトープに対して Vol(P₁⊕P₂) = Vol(P₁)Vol(P₂) が成り立つことを利用して、L, V₂, 以及 ̃V₂ への分解を通じて体積を計算する。
• Stanleyの結果（O(P) と C(P) は同じEhrhart多項式を持つ）を用い、この不変性を新しいポリトープへと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Γ(O(P),−C(Q)) と Γ(C(P),−C(Q)) のEhrhart多項式が一致する条件は何か？
• RQ2 Γ(O(P),−O(Q))、Γ(O(P),−C(Q))、Γ(C(P),−C(Q)) の3つのポリトープが同一のEhrhart多項式を持つのはどのような場合か？
• RQ3 どの部分順序集合 P および Q に対して、これらの3つのポリトープがsmooth Fanoポリトープになるか？
• RQ4 これらの3つのポリトープがsmooth Fanoである場合、unimodularに同値であるか？
• RQ5 これらのポリトープの正規化体積は、P および Q の構造にどのように依存するか？

主な発見

• 任意の有限部分順序集合 P および Q に対して、|P|=|Q| ならば、Γ(O(P),−C(Q)) のEhrhart多項式は Γ(C(P),−C(Q)) のそれと同一である。
• P と Q が共通の線形拡張を持つとき、Γ(O(P),−O(Q))、Γ(O(P),−C(Q))、Γ(C(P),−C(Q)) の3つのポリトープはすべて同じEhrhart多項式を持つ。
• 本稿では、これらの3つのポリトープがsmooth Fanoであるための完全な特徴付けを提供している。これは、関連する部分順序集合がその線形拡張および頂点配置に関連する特定の構造的条件を満たす場合に限り成立する。
• Γ(O(P),−C(Q)) と Γ(O(Q),−C(P)) は、同じEhrhart多項式と体積を持つ場合でさえ、unimodularに同値ではない。これはunimodular写像下での頂点像の分析における背理法により示された。
• P=Q=P₁ の場合、3つのポリトープの正規化体積はすべて 2^d に等しく、これらは ⊕_d L にunimodularに同値である。
• P=Q=P₂ の場合、正規化体積は 2^{d−2}·6 であり、P=P₁、Q=P₂ の場合、それは 2^{d−2}·5 である。後者の場合、Γ(O(Q),−O(P)) の体積も同じである。