[論文レビュー] Gröbner Bases of Bihomogeneous Ideals generated by Polynomials of Bidegree (1,1): Algorithms and Complexity

Jean‐Charles Faugère, Mohab Safey El Din+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2010

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、双一次多項式（双次数 (1,1)）によって生成される双斉次イデアルのグレブナー基底を計算するためのF5アルゴリズムの特殊化された変種を提案する。ヤコビ行列の構造と最大小行列式を活用し、重複する還元を排除する。一般のアフィン双一次系に対して、正則性の上限が min(nx+1, ny+1) であることを確立し、古典的F5と比較して複雑性の上限を改善するとともに、実験的にも高速化を達成した。

ABSTRACT

Solving multihomogeneous systems, as a wide range of structured algebraic systems occurring frequently in practical problems, is of first importance. Experimentally, solving these systems with Gröbner bases algorithms seems to be easier than solving homogeneous systems of the same degree. Nevertheless, the reasons of this behaviour are not clear. In this paper, we focus on bilinear systems (i.e. bihomogeneous systems where all equations have bidegree (1,1)). Our goal is to provide a theoretical explanation of the aforementionned experimental behaviour and to propose new techniques to speed up the Gröbner basis computations by using the multihomogeneous structure of those systems. The contributions are theoretical and practical. First, we adapt the classical F5 criterion to avoid reductions to zero which occur when the input is a set of bilinear polynomials. We also prove an explicit form of the Hilbert series of bihomogeneous ideals generated by generic bilinear polynomials and give a new upper bound on the degree of regularity of generic affine bilinear systems. This leads to new complexity bounds for solving bilinear systems. We propose also a variant of the F5 Algorithm dedicated to multihomogeneous systems which exploits a structural property of the Macaulay matrix which occurs on such inputs. Experimental results show that this variant requires less time and memory than the classical homogeneous F5 Algorithm.

研究の動機と目的

• 多斉次系、特に双一次系におけるグレブナー基底計算の実験的効率を説明すること。
• F5における重複還元を減らすために、双一次系の多斉次構造を活用するアルゴリズム的手法を開発すること。
• グレブナー基底を用いた一般のアフィン双一次系を解くための明示的複雑性上限を導出すること。
• 双一次多項式によって生成される双斉次イデアルのヒルベルト系列およびシンギージモジュール構造を分析すること。
• ヤコビ行列の核解析により、古典的F5基準で検出されない還元を特定することで、双一次入力に対するF5基準の一般化を行うこと。

提案手法

• 変数xおよびyに関するヤコビ行列の核を解析することで、双一次系における0への還元を検出し、回避するF5基準の適応を行う。
• 古典的F5基準で捕捉されない0への還元が、ヤコビ行列の最大小行列式に対応することを証明する。
• クラメルの公式およびヤコビ小行列式行列の逆行列を用いて、一方の変数集合を他方の集合で表現し、変数の消去を可能にする。
• シンギージの組み合わせ的解析を通じて、一般の双一次多項式によって生成される双斉次イデアルのヒルベルト双系列を導出する。
• 双一次入力に特有のマカウレー行列構造を活用する多斉次F5アルゴリズムの変種を構築する。
• 最大小行列式の先行項の理想とモナミアル正規形に基づき、一般のアフィン双一次系の正則性の上限を min(nx+1, ny+1) として確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ双一次系は同程度の次数の一般の斉次系よりもグレブナー基底計算時間が速いのか？
• RQ2 どの構造的性質が、古典的F5基準で見逃された還元を検出可能にしているのか？
• RQ3 一般のアフィン双一次系の正確な正則性次数は何か？ 一般の二次系と比較するとどうなるか？
• RQ4 F5アルゴリズムを、双一次系の多斉次構造を体系的に活用できるように適応できるか？
• RQ5 一般の双一次多項式によって生成される双斉次イデアルのヒルベルト系列は何か？ そして、これはシンギージ構造をどのように反映するか？

主な発見

• 一般のアフィン双一次系の正則性次数は、変数数mに対する一般の二次系のm+1の上限と比較して、はるかに低い min(nx+1, ny+1) で上界が与えられる。
• 一般の双一次多項式によって生成される双斉次イデアルのヒルベルト双系列は、シンギージモジュールの組み合わせ的性質を通じて明示的に決定される。
• 提案された多斉次F5変種は、重複還元のより良い取り扱いのおかげで、双一次系において時間的およびメモリ使用量の両面で古典的F5を上回る性能を示した。
• 古典的F5基準で検出されない0への還元は、すべて変数xおよびyに関するヤコビ行列の核によって完全に特徴付けられる。
• 一般の双一次系では、グレブナー基底計算の複雑性が O( (n_x + n_y + min(n_x+1, n_y+1) choose min(n_x+1, n_y+1) )^ω ) で抑えられ、ここで ω ∈ [2,3] は線形代数定数である。
• ヤコビ行列の最大小行列式によって生成されるイデアルは、その生成元の線形結合としてグレブナー基底を持つため、アフィンの場合に有効な変数の消去が可能になる。