[論文レビュー] Gr\"obner basis and the automaton property of Hecke--Kiselman algebras

Arkadiusz Mȩcel, Jan Okniński|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2018

Advanced Algebra and Logic被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、有限の有向グラフに付随する Hecke--Kiselman代数が、正規語が正則言語をなすという意味で自動機械代数であることを確立する。deg-lex順序におけるGröbner基底理論を用いて、これらの代数が有限のとき整数Gelfand-Kirillov次元を持つことを証明し、さらに有向サイクルの場合、代数が有限Gröbner基底をもつことを示す。これは先行研究における未解決の問いを解消する。

ABSTRACT

It is shown that the Hecke-Kiselman algebra associated to a finite directed graph is an automaton algebra in the sense of Ufnarovskii. Consequently, its Gelfand-Kirillov dimension is an integer if it is finite. As a consequence, it is proved that the Hecke-Kiselman algebra associated to an oriented cycle admits a finite Gr\"obner basis.

研究の動機と目的

• Ufnarovskiiの意味での、有限有向グラフ上の Hecke--Kiselman代数が自動機械代数であるかどうかを特定すること。
• 文献[10]で提起された、有限のときのGelfand-Kirillov次元の整数性に関する問いを解消すること。
• 有向サイクルに付随する代数に有限Gröbner基底が存在することを確立すること。
• 基礎となるモノイド関係のGröbner基底分析を通じて、自動機械性が成立することを示すこと。
• 自動機械性が、すべての有向グラフに一般化して成り立たないことを示すこと、すなわちPI代数であっても同様である。

提案手法

• 有向グラフΘに対するHecke--KiselmanモノイドHKΘの定義関係に基づいて、還元系S'を構成する。
• すべてのS'-還元可能な語がS-還元可能であることを証明し、還元系がダイアモンド補題を満たすことを保証する。
• Ufnarovskiiの基準を適用：Gröbナス基底の先行項が正則言語をなすならば、代数は自動機械代数である。
• 自由モノイド上のdeg-lex単項式順序を用いて、正規形を分析し、正規語の言語の正則性を確立する。
• サイクルグラフCnの場合、最小のS'-還元可能でかつS-還元可能な語を分析することで、Gröbner基底が有限であることを示す。
• C3を拡張した4頂点のグラフを用いた反例を構成し、PI代数であっても一般には有限Gröbner基底が成立しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限有向グラフに付随する Hecke--Kiselman代数は、deg-lex順序のもとで有限Gröbner基底をもつか？
• RQ2 このような代数のGelfand-Kirillov次元は、有限のとき常に整数か？
• RQ3 有向グラフ上のすべての Hecke--Kiselman代数に対して、自動機械性（正規語の正則言語）が確立可能か？
• RQ4 自動機械性は有限GK次元を示唆するか？また、代数がPI代数であっても同様に成り立つか？
• RQ5 PIでかつ有限GK次元をもつが、有限Gröbner基底をもたないHecke--Kiselman代数の例はあるか？

主な発見

• 任意の有限有向グラフΘに対して、Hecke--Kiselman代数A = k[HKΘ]は自動機械代数であり、正規語が正則言語をなす。
• その結果、AのGelfand-Kirillov次元は、有限である限り整数である。
• Θが有向サイクルCnである場合、代数k[HKΘ]はdeg-lex順序のもとで有限Gröbner基底をもつ。
• 本論文は、すべての有向グラフのHecke--Kiselman代数が有限Gröbner基底をもつとは限らない反例を提供する。
• 反例の代数のGelfand-Kirillov次元は正確に2であり、有限であるが有限Gröbner基底をもたないことを確認する。
• 証明は、最小のS'-還元可能だがS-還元可能な語が存在し得ないことを示すことに依拠し、これによりダイアモンド補題とGröbner基底の存在が保証される。