[論文レビュー] Gradient discretization of Hybrid Dimensional Darcy Flows in Fractured Porous Media with discontinuous pressures at the matrix fracture interfaces

Konstantin Brenner, Julian Hennicker+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、マトリックス-フレクチャー界面における不連続な圧力を持つ破壊的多孔質媒体内のハイブリッド次元Darcy流れに、勾配ディスcretizationフレームワークを拡張し、一般メッシュおよび異方性透水率の下での収束解析を可能にした。VAG（ボトム近似勾配）およびHFV（ハイブリッド有限体積）スキームを提案・分析し、最適な収束速度を示し、特に異方性設定においてVAGがHFVを上回る優れた効率性を示した。

ABSTRACT

We investigate the discretization of Darcy flow through fractured porous media on general meshes. We consider a hybrid dimensional model, invoking a complex network of planar fractures. The model accounts for matrix-fracture interactions and fractures acting either as drains or as barriers, i.e. we have to deal with pressure discontinuities at matrix-fracture interfaces. The numerical analysis is performed in the general framework of gradient discretizations which is extended to the model under consideration. Two families of schemes namely the Vertex Approximate Gradient scheme (VAG) and the Hybrid Finite Volume scheme (HFV) are detailed and shown to satisfy the gradient scheme framework, which yields, in particular, convergence. Numerical tests confirm the theoretical results. Gradient Discretization; Darcy Flow, Discrete Fracture Networks, Finite Volume

研究の動機と目的

• マトリックス-フレクチャー界面における不連続な圧力を持つハイブリッド次元Darcy流れモデルに対する収束解析の欠如に応える。
• 複雑なフレクチャー網を含む、完全に、部分的に、および非埋め込みフレクチャー、ならびにフレクチャー交差を含むフレームワークを、ハイブリッド次元モデルに適合させる。
• 一般多面体メッシュ上での不連続圧力モデルにおけるVAGおよびHFVスキームの統一的数値解析を提供する。
• 拡張された勾配スキームフレームワーク下で、VAGおよびHFVスキームの収束を示し、特に分片的正則解に対して最適な収束率を示す。
• 多相流シミュレーションにおける実装を支援するため、特に異方性透水率設定下で、VAGおよびHFVスキームの効率性と精度を比較する。

提案手法

• マトリックス-フレクチャー界面における圧力不連続性を持つハイブリッド次元Darcyモデルに、勾配スキームフレームワークを拡張し、一般メッシュにおける収束解析を可能にする。
• 2つのスキーム族を提案：ボトム近似勾配（VAG）およびハイブリッド有限体積（HFV）、両者とも不連続圧力を持つハイブリッド次元モデルに適合させた。
• VAGスキームに2つのバージョンを構築：四面体部分メッシュ上の適合P1有限要素バージョンと、フラックスおよび源項に重み付けを用いた非適合制御体積バージョン。
• VAGおよびHFVスキームの両方を統一した有限体積形式として導入し、多相流シミュレーションへの実装を支援する。
• 勾配スキームフレームワークの理論的収束結果を適用し、分片的正則解に対して1次収束の証明を行う。
• 解析的解を用いた数値実験により、理論的収束速度の妥当性を検証し、精度およびCPU時間の観点から性能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配スキームフレームワークは、マトリックス-フレクチャー界面における不連続圧力を持つハイブリッド次元Darcy流れを扱えるように拡張可能か？
• RQ2 不連続圧力を持つハイブリッド次元モデルに適合されたVAGおよびHFVスキームは、勾配スキームフレームワークの収束性を満たすか？
• RQ3 不連続圧力が存在する状況下で、分片的正則解に対するVAGおよびHFVスキームの収束速度は何か？
• RQ4 異方性透水率下で、VAGおよびHFVスキームの精度および計算コストはどのように比較されるか？
• RQ5 VAGスキームの重み付け形式は、適合P1有限要素バージョンと比較して、精度および収束速度を保持するか？

主な発見

• VAGおよびHFVスキームは、拡張された勾配スキームフレームワークに成功裏に統合され、不連続圧力を持つハイブリッド次元Darcyモデルの収束が保証された。
• 理論的フレームワークが予測した通り、分片的正則解に対して、VAGおよびHFVスキームの両方で最適な1次収束が達成された。
• 直交メッシュ上では、VAGおよびHFVスキームの両方が解および勾配に対して2次収束を達成し、VAGはフレクチャー界面でより多くの自由度を有していた。
• 異方性透水率下では、特に四面体メッシュ上において、VAGスキームがHFVを上回り、精度対CPU時間比において優れた性能を示した。
• 重み付けVAG形式は、適合P1有限要素バージョンと同一の収束速度および精度を達成しており、そのロバスト性と効率性が確認された。
• 数値結果は、同じメッシュ上ではHFVがVAGよりも一般的に精度が高く、計算コストは顕著に高いことを示しており、全体としてVAGがより効率的であることが確認された。