[論文レビュー] Gradient Gibbs measures and fuzzy transformations on trees

Christof Kuelske, Philipp Schriever|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、木構造上の勾配ギブス測度（GGM）と境界則の理論を結びつけるものであり、正規化可能な境界則にとどまらず、周期的境界則を含む一般化を図っている。標準的なギブス測度が存在しない状況においても、q周期的環境におけるランダムウォークの周辺分布をもつピン付き測度の混合により、木の自己同型不変なGGMを構成している。この混合は、mod-qの曖昧なマルコフ連鎖に従う。SOSモデルや離散ガウスモデルなど、標準的ギブス測度が存在しない場合でも、広範なクラスのGGMを提供する。

ABSTRACT

We study Gibbsian models of unbounded integer-valued spins on trees which possess a symmetry under height-shift. We develop a theory relating boundary laws to gradient Gibbs measures, which applies also in cases where the corresponding Gibbs measures do not exist. Our results extend the classical theory of Zachary beyond the case of normalizable boundary laws, which implies existence of Gibbs measures, to periodic boundary laws. We provide a construction for classes of tree-automorphism invariant gradient Gibbs measures in terms of mixtures of pinned measures, whose marginals to infinite paths on the tree are random walks in a q-periodic environment. Here the mixture measure is the invariant measure of a finite state Markov chain which arises as a mod-q fuzzy transform, and which governs the correlation decay. The construction applies for example to SOS-models and discrete Gaussian models and delivers a large number of gradient Gibbs measures. We also discuss relations of certain gradient Gibbs measures to Potts and Ising models.

研究の動機と目的

• ザッハリーの古典的境界則理論を、正規化可能な境界則にとどまらず、周期的解を含むように拡張すること。
• 標準的ギブス測度が存在しない領域において、木の自己同型不変な勾配ギブス測度（GGM）を構成すること。
• ピン付き測度の混合を用いて、GGMとq周期的環境におけるランダムウォークの周辺分布との関係を確立すること。
• 曖昧変換を通じて、GGMとポッツ／イジングモデルとの関係を確立すること。
• 木構造上の層依存のマルコフ連鎖の混合がギブス的性質を失う理由を示し、GGMの構成に於いて木の次数が3以上である必要性を強調すること。

提案手法

• 高さシフト対称性を持つ正則木における整数値スピン（有界でない）に対する一般化された境界則フレームワークを導入する。
• 勾配ギブス測度を、無限路におけるピン付き測度の射影極限として定義し、周辺分布をq周期的環境におけるランダムウォークとする。
• 境界則のmod-q曖昧変換から生じる有限状態のマルコフ連鎖の不変分布として、混合測度を構成する。
• 遷移行列と境界則の対応関係を用い、曖昧連鎖の不変測度からGGMを導出する。
• 得られたGGMがいかなるギブス測度の射影でもないことを証明し、それらがデローカライズド領域に位置することを示す。
• 1次元アナログにおけるギブス性の失敗を分析し、混合の下で遠く離れた結合における条件付き確率が準局的性を失うことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界則は、正規化可能性の範囲を超えて、どのようにして木構造上の勾配ギブス測度を記述できるか？
• RQ2 周期的境界則は、木の自己同型不変な勾配ギブス測度の構成において、果たす役割は何か？
• RQ3 q周期的環境におけるランダムウォークの周辺分布をもつピン付き測度の混合として、勾配ギブス測度を構成できるか？
• RQ4 mod-q状態における曖昧変換は、勾配モデルにおける相関減衰と不変測度とどのように関係するか？
• RQ5 整数直線上の層依存のマルコフ連鎖の混合がなぜギブス測度とならないのか？この事実は木構造モデルに何を意味するか？

主な発見

• 本稿は、q周期的環境におけるランダムウォークの周辺分布をもつピン付き測度の混合を用いて、大きなクラスの木の自己同型不変勾配ギブス測度を構成している。
• mod-q曖昧変換から導かれる有限状態マルコフ連鎖の不変測度が、相関減衰を支配し、GGMの構成を可能にする。
• 標準的ギブス測度が存在しない状況、特に2次元離散ガウス自由場のようなデローカライズド領域においても、これらのGGMは存在する。
• 構成されたGGMは、いかなるギブス測度の射影でもなく、古典的ギブス的枠組みの外にある。
• 整数直線上では、層依存のマルコフ連鎖の混合はギブス的でない。遠く離れた結合における条件付き確率が1に収束し、準局的性が破れるためである。
• 本理論は、ザッハリーの境界則対応関係を、正規化不可能で周期的な境界則へと拡張し、従来は取り扱いが困難であった状況におけるGGMの記述を可能にした。