[論文レビュー] Gramian-based reachability metrics for bilinear networks

Yingbo Zhao, Jorge Cortés|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2015

Model Reduction and Neural Networks参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、離散時間バイリニアネットワークにおけるグレミアンに基づく到達可能性指標を導入し、原点から到達可能な任意のターゲットにシステム状態を駆動するために必要な最小入力エネルギーを定量化する。入力の無限大ノルムを制限し、到達可能性グレミアンを活用することで、エネルギー要件の下界を導出し、バイリニア入力が相互接続に影響を与える場合、ネットワーク構造と入力分布に応じて可制御性を維持するか、著しく向上させる可能性があることを示している。

ABSTRACT

This paper studies Gramian-based reachability metrics for bilinear control systems. In the context of complex networks, bilinear systems capture scenarios where an actuator not only can affect the state of a node but also interconnections among nodes. Under the assumption that the input's infinity norm is bounded by some function of the network dynamic matrices, we derive a Gramian-based lower bound on the minimum input energy required to steer the state from the origin to any reachable target state. This result motivates our study of various objects associated to the reachability Gramian to quantify the ease of controllability of the bilinear network: the minimum eigenvalue (worst-case minimum input energy to reach a state), the trace (average minimum input energy to reach a state), and its determinant (volume of the ellipsoid containing the reachable states using control inputs with no more than unit energy). We establish an increasing returns property of the reachability Gramian as a function of the actuators, which in turn allows us to derive a general lower bound on the reachability metrics in terms of the aggregate contribution of the individual actuators. We conclude by examining the effect on the worst-case minimum input energy of the addition of bilinear inputs to difficult-to-control linear symmetric networks. We show that the bilinear networks resulting from the addition of either inputs at a finite number of interconnections or at all self loops with weight vanishing with the network scale remain difficult-to-control. Various examples illustrate our results.

研究の動機と目的

• バイリニア制御ネットワークの定量的到達可能性指標を構築し、二値の可制御性を越えて入力エネルギー要件を測定すること。
• 線形制御モデルの限界に対処すること。線形制御モデルは、入力がノード状態にのみ影響すると仮定しているが、ノード間の相互接続には影響しない。
• バイリニア入力（ノード状態と相互接続強度の両方をモダリティング可能）が、複雑なネットワークの可制御性に与える影響を調査すること。
• 入力ノルムが有界である条件下で、到達可能性グレミアンを用いて最小入力エネルギーの理論的下界を確立すること。
• バイリニア制御が、大規模な対称的線形ネットワークの制御の本質的困難性を克服できるかどうかを検討すること。

提案手法

• 離散時間バイリニアシステムのための到達可能性グレミアンを定義し、入力の無限大ノルムがシステム行列の関数で有界であると仮定したもとで、任意のターゲット状態に到達するために必要な最小入力エネルギーの下界を導出する。
• グレミアンに基づく3つの到達可能性指標を導入する：最小固有値（最悪ケースのエネルギー）、トレース（平均エネルギー）、行列式（単位エネルギー入力下での到達可能状態の体積）。
• アクチュエータ集合に関して到達可能性グレミアンのスーパーモジュラリティを確立し、個々のアクチュエータの寄与に基づく指標の下界を導出可能にする。
• 線形対称ネットワークにバイリニア入力を追加した影響を分析し、特に自己ループのモジュレーションと相互接続のモジュレーションに焦点を当てる。
• 全探索と数値例を用いて、異なるアクチュエータ配置と入力設定の性能を評価する。
• ネットワークサイズの増加に伴う線形およびバイリニアネットワークの挙動を比較し、可制御性のスケーラビリティを評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 到達可能性グレミアンを用いて、バイリニアネットワークにおけるターゲット状態に到達するための最小入力エネルギーをどのように有界化できるか。
• RQ2 対称的線形ネットワークにおいて、相互接続をモジュレートするバイリニア入力を追加した場合、最悪ケースの最小入力エネルギーにどのような影響を与えるか。
• RQ3 有界な自己ループモジュレーションをバイリニア入力を用いて行うことで、大規模な対称的線形ネットワークの可制御性が向上するか。
• RQ4 バイリニア制御が線形制御と比較して、どの条件下で必要な入力エネルギーを顕著に低減するか。
• RQ5 到達可能性指標（グレミアンの最小固有値、トレース、行列式）は、ネットワークサイズとアクチュエータ設定に応じてどのようにスケーリングされるか。

主な発見

• 線形対称ラインネットワークでは、到達可能性グレミアンの最小固有値はネットワークサイズとともに指数関数的に減少し、最悪ケースの制御エネルギーが指数的に増加することを示している。
• 有界な重みを持つ有限個の自己ループをモジュレートするバイリニア入力を追加しても、最悪ケースの制御エネルギーは減少せず、このようなネットワークは依然として制御が困難である。
• 一定強度で増加する数の相互接続（例：すべての隣接ペア）をモジュレートするバイリニア入力を追加した場合、ネットワークサイズが増大してもグレミアンの最小固有値は一定のままであり、可制御性が維持または向上していることが示された。
• 非ゼロの強度で無限個の相互接続をモジュレートするバイリニア入力を追加すると、最小固有値がネットワークスケールにかかわらず一定であることが示され、制御が困難な線形ネットワークが容易に制御可能になることがわかった。
• 到達可能性グレミアンはアクチュエータ集合に関してスーパーモジュラルであることが示され、個々のアクチュエータの寄与の集約に基づく到達可能性指標の下界を導出可能である。
• 到達可能性グレミアンの行列式は、単位エネルギー入力下での到達可能集合の体積を定量化し、可制御性の幾何的解釈を提供する。