[論文レビュー] Graph Product Structure for h-Framed Graphs

Michael A. Bekos, Giordano Da Lozzo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2022

Advanced Graph Theory Research被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、1-平面的、最適2-平面的、k-マップグラフを含むh-フレームドグラフのための、新しいグラフ積構造定理を確立する。これらのグラフは、パス、treewidthが3以下である平面的グラフ、およびサイズ $3\lfloor h/2\rfloor + \lfloor h/3\rfloor - 1$ のクリークの強い積の部分グラフであることが示された。これにより、これらのグラフクラスにおけるキュー番号、非反復彩色数、p-中心彩色数、およびツイン幅の、hに関して線形な上界が著しく改善され、構成的アルゴリズムにより効率的な分解が可能となる。

ABSTRACT

Graph product structure theory expresses certain graphs as subgraphs of the strong product of much simpler graphs. In particular, an elegant formulation for the corresponding structural theorems involves the strong product of a path and of a bounded treewidth graph, and allows to lift combinatorial results for bounded treewidth graphs to graph classes for which the product structure holds, such as to planar graphs [Dujmović et al., J. ACM, 67(4), 22:1-38, 2020]. In this paper, we join the search for extensions of this powerful tool beyond planarity by considering the h-framed graphs, a graph class that includes 1-planar, optimal 2-planar, and k-map graphs (for appropriate values of h). We establish a graph product structure theorem for h-framed graphs stating that the graphs in this class are subgraphs of the strong product of a path, of a planar graph of treewidth at most 3, and of a clique of size $3\lfloor h/2 floor +\lfloor h/3 floor -1$. This allows us to improve over the previous structural theorems for 1-planar and k-map graphs. Our results constitute significant progress over the previous bounds on the queue number, non-repetitive chromatic number, and p-centered chromatic number of these graph classes, e.g., we lower the currently best upper bound on the queue number of 1-planar graphs and k-map graphs from 495 to 81 and from 32225k(k-3) to 61k, respectively. We also employ the product structure machinery to improve the current upper bounds of twin-width of planar and 1-planar graphs from 183 to 37, and from O(1) to 80, respectively. All our structural results are constructive and yield efficient algorithms to obtain the corresponding decompositions.

研究の動機と目的

• 平面的グラフを超えたグラフ積構造理論を、1-平面的、最適2-平面的、k-マップグラフを含むh-フレームドグラフに拡張すること。
• h-フレームドグラフを、パス、treewidth ≤3 の平面的グラフ、およびサイズ $3\lfloor h/2\rfloor + \lfloor h/3\rfloor - 1$ のクリークの強い積の部分グラフとして、より緊密な構造的分解を確立すること。
• キュー番号、非反復彩色数、p-中心彩色数、ツイン幅といった重要なグラフパラメータについて、hに関して線形な上界を改善すること。
• 分解とパラメータ上界を効率的に計算できる構成的アルゴリズムを提供すること。

提案手法

• h-フレームドグラフの定義を活用する：非交差辺が、面サイズ ≤ h である双連結な平面的全域部分グラフをなす図形を持つグラフ。
• treewidthが3のパスと平面的グラフに従って、グラフのレイヤード分解に基づく再帰的収縮手順を適用する。
• 収縮中に赤色辺を追跡することで、最大赤次数を制限し、結果の構造が強い積の形に適合することを保証する。
• パスの $\lfloor h/2\rfloor$ 乗を用いた代替定式化を導入することで、クリークサイズを $\max(3, h - 2)$ に削減する。
• 積構造を応用して、有界treewidthグラフからの結果を拡張することで、組合せ的パラメータの上界を導出する。
• 時間計算量が二次式であり、構成的であるアルゴリズムを構築し、分解と上界の実用的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ積構造定理は、平面的およびk-平面的グラフの上位クラスたるh-フレームドグラフへ拡張可能か？
• RQ2 h-フレームドグラフの強い積分解において、treewidthとクリークサイズの最も緊密な上界は何か？
• RQ3 積構造を用いることで、キュー番号、彩色数、ツイン幅に関するhに関して線形な上界を改善できるか？
• RQ4 パスを高次のパスのべきに置き換えることで、積分解におけるクリークサイズを削減可能か？
• RQ5 構造的分解をアルゴリズム的応用に適した効率的かつ構成的なものにできるか？

主な発見

• 1-平面的および最適2-平面的グラフのキュー番号は、新しい積構造により、495および3267からそれぞれ81に改善された。
• k-マップグラフのキュー番号は、$32225k(k-3)$ から $61k$ に削減され、kに関して線形の依存関係が達成された。
• k-マップグラフの非反復彩色数は、$21 \cdot 4^{10} \cdot k(k-3)$ から $256(3k + \lfloor 2k/3 \rfloor - 1)$ に改善され、1-平面的グラフでは $30 \cdot 4^4$ から $6 \cdot 4^4$ に改善された。
• k-マップグラフのp-中心彩色数は、$O(k^2 p^{10})$ から $O(k p^3 \log p)$ に改善され、1-平面的グラフでは $O(p^4)$ から $O(p^3 \log p)$ に改善された。
• 平面的グラフのツイン幅は183から37に改善され、1-平面的および最適2-平面的グラフでは $O(1)$ から80に改善された。
• h-フレームドグラフのツイン幅はhに関する線形関数で有界であるが、従来の上界は $O(h^2)$ の指数的であった。