[论文解读] Graph Sparsification by Edge-Connectivity and Random Spanning Trees

Wai Shing Fung, Nicholas J. A. Harvey|arXiv (Cornell University)|May 3, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文提出了两种构建图稀疏化子的新方法，可将所有割值保留至 (1±ε) 因子内：(1) 按边连通性反比采样边，(2) 取 ρ 棵随机生成的生成树的并集并赋予边权重。两种方法均能获得边数为 O(n log²n / ε²) 的稀疏化子，解决了关于基于连通性的采样方法的开放性问题，并将随机生成树的应用扩展至割稀疏化。

ABSTRACT

We present new approaches to constructing graph sparsifiers --- weighted subgraphs for which every cut has the same value as the original graph, up to a factor of $(1 \pm ε)$. Our first approach independently samples each edge $uv$ with probability inversely proportional to the edge-connectivity between $u$ and $v$. The fact that this approach produces a sparsifier resolves a question posed by Benczúr and Karger (2002). Concurrent work of Hariharan and Panigrahi also resolves this question. Our second approach constructs a sparsifier by forming the union of several uniformly random spanning trees. Both of our approaches produce sparsifiers with $O(n \log^2(n)/ε^2)$ edges. Our proofs are based on extensions of Karger's contraction algorithm, which may be of independent interest.

研究动机与目标

• 解决 Benczúr 和 Karger 提出的开放性问题：基于边连通性的采样是否能产生割稀疏化子？
• 探究加权随机生成树的并集是否能产生优于无权子图的割稀疏化子？
• 探索构建边数为 o(n log n) 的稀疏化子的替代方法，特别是基于生成树采样的方法。

提出的方法

• 以与边连通性 (k_e) 成反比的概率采样每条边，确保以高概率近似割值。
• 通过取 ρ 棵均匀随机生成的生成树的并集来构建稀疏化子，每条边按其有效电导率加权。
• 利用基于负相关性的集中不等式（定理 4.2 和推论 4.3）分析随机生成树中边数的偏差。
• 应用 Karger 的收缩算法的扩展结果来证明正确性和边数上界。
• 设定 ρ = d log²n，其中 d = O(1/ε²)，以确保以高概率实现 (1±ε) 的割近似。
• 采用有效电导率和边连通性作为采样参数，利用关于随机生成树和电导率的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于边连通性而非边强度的边采样是否能产生有效的 (1±ε) 割稀疏化子？
• RQ2 加权随机生成树的并集能否作为 (1±ε) 割稀疏化子？
• RQ3 能否通过随机生成树采样构造出边数为 o(n log n) 的稀疏化子？
• RQ4 实现 (1±ε) 割近似的最少随机生成树数量是多少？
• RQ5 基于连通性的采样与基于有效电导率的采样相比，性能如何？

主要发现

• 基于边连通性的边采样方法能以高概率生成 (1±ε) 割稀疏化子，解决了 Benczúr 和 Karger (2002) 提出的开放性问题。
• ρ = O(log²n / ε²) 棵均匀随机生成的生成树（每条边按有效电导率加权）的并集，能以高概率生成 (1±ε) 割稀疏化子。
• 通过随机生成树构建的稀疏化子具有 O(n log²n / ε²) 条边，与谱稀疏化子和割稀疏化子的最佳已知边界一致。
• 下界分析表明，为实现常数概率近似，至少需要 Ω(log n / log k) 棵生成树，表明树的数量过少可能无法捕捉关键割。
• 分析表明，基于电导率加权的随机生成树采样在保留割值方面与基于有效电导率的采样同样有效，验证了该方法的合理性。