[論文レビュー] Graphical Models for Game Theory

Michael Kearns, Michael L. Littman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2013

Game Theory and Applications参考文献 5被引用数 563

ひとこと要約

この論文は、局所的な相互作用を表す非有向グラフを用いたマルチプレイヤーゲームのためのグラフィカルモデルを導入する。各プレイヤーの報酬は、自身の行動と隣接プレイヤーの行動にのみ依存する。ゲームのグラフが木構造である場合、局所的メッセージパッシングを用いた多項式時間アルゴリズムを提示し、近似均衡の計算と正確な計算の2つのバージョンを提供する。近似均衡には、計算量の強い境界を保つが、正確な計算には弱い境界を伴う。この手法により分散計算が可能となり、全般的に最適な性質を持つ均衡の探索へも拡張可能である。

ABSTRACT

In this work, we introduce graphical modelsfor multi-player game theory, and give powerful algorithms for computing their Nash equilibria in certain cases. An n-player game is given by an undirected graph on n nodes and a set of n local matrices. The interpretation is that the payoff to player i is determined entirely by the actions of player i and his neighbors in the graph, and thus the payoff matrix to player i is indexed only by these players. We thus view the global n-player game as being composed of interacting local games, each involving many fewer players. Each player's action may have global impact, but it occurs through the propagation of local influences.Our main technical result is an efficient algorithm for computing Nash equilibria when the underlying graph is a tree (or can be turned into a tree with few node mergings). The algorithm runs in time polynomial in the size of the representation (the graph and theassociated local game matrices), and comes in two related but distinct flavors. The first version involves an approximation step, and computes a representation of all approximate Nash equilibria (of which there may be an exponential number in general). The second version allows the exact computation of Nash equilibria at the expense of weakened complexity bounds. The algorithm requires only local message-passing between nodes (and thus can be implemented by the players themselves in a distributed manner). Despite an analogy to inference in Bayes nets that we develop, the analysis of our algorithm is more involved than that for the polytree algorithm in, owing partially to the fact that we must either compute, or select from, an exponential number of potential solutions. We discuss a number of extensions, such as the computation of equilibria with desirable global properties (e.g. maximizing global return), and directions for further research.

研究の動機と目的

• 報酬が局所的なプレイヤー相互作用にのみ依存するグラフィカル構造を用いてマルチプレイヤーゲームをモデル化すること。
• 局所的依存関係に制限された大規模ゲームにおけるナッシュ均衡を求める計算上の課題に対処すること。
• ゲームの相互作用グラフが木構造である場合に、効率的かつ分散型のアルゴリズムを用いて均衡を計算すること。
• 社会的厚生などの全般的な目的を最適化する均衡を同定するためのフレームワークを拡張すること。
• 確率的推論で一般的に用いられるグラフィカルモデルを非協力的ゲーム理論に適用する理論的基盤を提供すること。

提案手法

• n人プレイヤーのゲームをn個のノードを持つ非有向グラフとして表現し、各ノードがプレイヤーに該当し、エッジが局所的相互作用を示す。
• プレイヤー自身とその隣接プレイヤーの行動にのみ依存する局所的報酬行列を定義する。
• 動的計画法に類似したノード間のメッセージパッシングを可能にするために、木構造のグラフを用いる。
• 2つのアルゴリズム的バージョンを実装する：1つはすべての近似ナッシュ均衡のコンact表現を計算し、もう1つは複雑さの境界を緩めながら正確な均衡を計算する。
• プレイヤーがグローバルな調整なしに、局所的通信と計算のみで均衡を計算できるようにアルゴリズムを設計する。
• ベイジアンネットワーク推論との類似性を活用するが、ゲーム理論的状況では指数的数の潜在的均衡が存在するため、それらを適応的に処理する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的依存関係を持つマルチプレイヤー非協力ゲームにおいて、グラフィカルモデルを効果的に適応して均衡を表現・計算できるか？
• RQ2 相互作用グラフが木構造であるゲームにおいて、ナッシュ均衡を多項式時間で計算するアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 グローバルな調整なしに、局所的メッセージパッシングを用いて分散的かつスケーラブルに均衡を計算できるか？
• RQ4 このフレームワークは、社会的厚生などの全般的な目的を最適化する均衡を同定するために拡張可能か？
• RQ5 グラフィカルゲームにおける均衡計算において、近似の精度と計算量のトレードオフは何か？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、グラフと局所的報酬行列のグラフィカル表現のサイズに関して、すべての近似ナッシュ均衡を多項式時間で計算可能である。
• 正確な計算バージョンは存在するが、近似バージョンに比べて弱い複雑さの境界を伴う。
• アルゴリズムは完全に分散型であり、隣接プレイヤー間の局所的通信のみを必要とするため、分散環境に適している。
• メッセージパッシングフレームワークに全般的な目的を組み込むことで、社会的厚生などの全般的な報酬を最大化する均衡への一般化が可能である。
• 解空間の構造の違いにもかかわらず、確率的推論におけるグラフィカルモデルとゲーム理論的均衡計算との間の明確な理論的接続を確立した。
• メッセージパッシングによる表現のコンパクト化により、ナッシュ均衡の数が指数的に増加しても、効率的な計算が可能である。