[論文レビュー] Graphs and Hermitian matrices: discrepancy and singular values

Béla Bollobás, Vladimir Nikiforov|ArXiv.org|Apr 30, 2004

Graph theory and applications参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、エルミート行列の第二特異値とその不均衡性の間のタイトなバインディングを確立し、ある絶対定数 $C_1$ に対して $\sigma_2(A) \leq C_1 \cdot \text{disc}(A) \log n$ が成り立つことを示し、このバインディングが定数因子の範囲で最適であることを証明する。また、正則グラフにおいて、$\sigma_2(G) \geq C_2 \cdot \text{disc}_2(G) \log |G|$ を満たす密度の高い正則グラフを構成し、チャングの予想を反証する。

ABSTRACT

We introduce a measure of discrepancy of Hermitian matrices and establish an inequality between the second singular value of a Hermitian matrix and its discrepancy. These results are applied to answer two questions of Fan Chung about graph eigenvalues.

研究の動機と目的

• エルミート行列 $A$ の第二特異値 $\sigma_2(A)$ とその不均衡性 $\text{disc}(A)$ の関係を調査し、グラフの不均衡性概念を行列へ拡張する。
• ファン・チャンが提起した予想、すなわちすべての正則グラフ $G$ に対して $\sigma_2(G) < C \cdot \text{disc}_2(G)$ が成り立つという予想を、反例の構成によって解決する。
• スパースグラフにおける低不均衡性が第二特異値を小さくすることを示すか、チャンとグレアムが提起したスパース設定における準ランダム性に関する問いに答える。
• 不均衡性が小さい場合でも第二特異値が小さくならないことを示す一般構成を提供する。

提案手法

• 行列の不均衡関数 $\text{disc}(A)$ を、すべての空でない部分集合 $X,Y \subset [n]$ に対して、部分行列の和の全体平均 $\rho(A)$ からの正規化された最大偏差として定義する。
• スペクトル分解と特異値解析を用い、組合せ的および確率的議論を通じて、対数因子を介して $\sigma_2(A)$ を $\text{disc}(A)$ の関数としてバインドする。
• 特徴値と辺分布を制御できる代数的構成（例えば、強正則グラフやカイリー・グラフ）を用いて、密度の高い正則グラフ $G_p$ の明示的族を構成する。
• これらのグラフに対して、絶対定数 $C_2 > 0$ に対して $\sigma_2(G) \geq C_2 \cdot \text{disc}_2(G) \log |G|$ が成り立つことを証明し、直接的にチャングの予想と矛盾することを示す。
• 不交和 $G(n) \cup K_{\lfloor pn \rfloor}$ の一般構成を用い、$p = o(1)$ の場合でも DISC(1) が EIG を意味しないことを示す。不均衡性は保たれるが、第二固有値の小さな振る舞いは消失する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての正則グラフ $G$ に対して、ある普遍定数 $C$ が存在して $\sigma_2(G) < C \cdot \text{disc}_2(G)$ が成り立つだろうか？
• RQ2 エルミート行列の第二特異値はその不均衡性の関数としてバインド可能だろうか？また、そのバインディングはどの程度タイトか？
• RQ3 スパースグラフにおいて不均衡性が低いと、第二特異値も小さくなるのだろうか？（密度の高い場合と同様に。）
• RQ4 不均衡性は小さいが第二特異値は依然として大きなグラフ族は存在するのだろうか？これは準ランダム性に関する予想を反証する。

主な発見

• ある絶対定数 $C_1$ に対して、$\sigma_2(A) \leq C_1 \cdot \text{disc}(A) \log n$ が成り立ち、このバインディングは乗法的定数の範囲で最適である。
• 無限に多くの密度の高い正則グラフ $G$ が存在し、ある絶対定数 $C_2 > 0$ に対して $\sigma_2(A(G)) \geq C_2 \cdot \text{disc}_2(A(G)) \log |G|$ を満たす。これはチャングの予想を反証する。
• 構成されたグラフ $G_p$ は、ある絶対定数 $C$ に対して、$\left|e(X,Y) - \frac{1}{2}|X||Y|\right| \leq \frac{C}{k}\sqrt{|X||Y|(n-|X|)(n-|Y|)}$ を満たし、制御された不均衡性を示す。
• 構成されたグラフの第二固有値 $\mu_2(G)$ は、$\mu_2(G) \geq \frac{\log k}{2k} \cdot \mu_1(G)$ を満たし、不均衡性に対して顕著なスペクトルギャップを示す。
• 不交和 $G(n) \cup K_{\lfloor pn \rfloor}$ からなる族 $\mathcal{G}_p^*$ は DISC(1) を満たすが EIG を満たさない。これは、スパースグラフにおいて低不均衡性が第二特異値を小さくしないことを示す。