[論文レビュー] Graphs, groups and self-similarity

Ruy Exel, Enrique Pardo|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限グラフ $E$ のパス空間上の群作用を1-コサイクル $\varphi$ を用いて定義する一様な C*-代数構成 $\mathcal{O}_{G,E}$ を導入し、Katsura代数 $\mathcal{O}_{A,B}$ と Nekrashevych代数 $\mathcal{O}_{(G,X)}$ の両方を一般化する。主な結果として、$\mathcal{O}_{G,E}$ が対応する対応関係の Cuntz-Pimsner代数と同型であることが示され、$G$ がアメーブルであるとき $\mathcal{O}_{G,E}$ は核となることが示され、群のぐるみ C*-代数理論および自己相似的ダイナミクスの既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

We study a family of C*-algebras generalizing both Katsura algebras and certain algebras introduced by Nekrashevych in terms of self-similar groups.

研究の動機と目的

• Katsura代数 $\mathcal{O}_{A,B}$ と Nekrashevych代数 $\mathcal{O}_{(G,X)}$ という二つの異なる C*-代数のクラスを、共通の枠組みのもとで統一すること。
• 自己相似的群作用を根付き木から有限グラフのパス空間へ一般化し、コサイクル $\varphi$ を用いて忠実でない作用を許容すること。
• 群 $G$、有限グラフ $E$、および1-コサイクル $\varphi$ を用いて、パス上での自己相似性条件を満たす C*-代数 $\mathcal{O}_{G,E}$ を構成すること。
• $\mathcal{O}_{G,E}$ が対応する対応関係の Cuntz-Pimsner代数と同型であることを示し、既存の C*-代数的構成と結びつけること。
• $G$ がアメーブルであるとき $\mathcal{O}_{G,E}$ の核性を確立し、群のぐるみ C*-代数理論における既知の結果を拡張すること。

提案手法

• 群 $G$ がパス空間 $E^*$ 上に作用する際の自己相似性条件を定義する：$g(\alpha\beta) = (g\alpha)(\varphi(g,\alpha)\beta)$、ここで $\varphi$ は $E^1$ 上の $G$-作用に関する1-コサイクルである。
• 群作用とコサイクルに基づく生成元と関係式からなる $\mathcal{O}_{G,E}$ の C*-代数を構成し、Katsura および Nekrashevych の構成を一般化する。
• $C(E^0)$ 上の $C^*$-対応関係 $M$ に対する Cuntz-Pimsner代数として $\mathcal{O}_{G,E}$ を実現する。これには表現 $\theta_M$ と $*$-準同型 $\theta_A$ を用いる。
• 対応関係の普遍的表現が $\mathcal{O}_M$ を通じて因子化されることを証明し、$*$-同型 $\Theta: \mathcal{O}_M \to \mathcal{O}_{G,E}$ を得る。
• 単位空間が $E$ の無限パス空間である群のぐるみモデル $\mathcal{G}_{G,E}$ を用いる。その構造は半直積群値のラグ関数によって支配される。
• $G$ のアメーブル性を用いて $\mathcal{O}_{G,E}$ の核性を確立する。$C(E^0) \rtimes G$ が $G$ がアメーブルであるとき核となること、および商と Cuntz-Pimsner代数が核性を保つことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Katsura代数 $\mathcal{O}_{A,B}$ と Nekrashevych代数 $\mathcal{O}_{(G,X)}$ は、グラフパス空間上の群作用を含む一様な構成によって統合可能か？
• RQ2 自己相似的群作用は、根付き木上の忠実な作用を超えて、有限グラフのパス空間への作用へどのように一般化可能か？
• RQ3 1-コサイクル $\varphi: G \times E^1 \to G$ は、パス上での一貫性のある自己相似性条件を定義するために果たす役割は何か？
• RQ4 $\mathcal{O}_{G,E}$ がこのような一般化された作用から得られる C*-代数は、既知の C*-代数のクラス（例えば Cuntz-Pimsner代数）と同型か？
• RQ5 $\mathcal{O}_{G,E}$ が核となる条件は何か？また、$G$ のアメーブル性はこの性質とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathcal{O}_{G,E}$ は、生成元 $q_x$、$t_e$、$v_g$ をそれぞれ $p_x$、$s_e$、$u_g$ に写像する $*$-同型 $\Theta$ を通じて、$C^*$-対応関係 $M$ の Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_M$ と同型である。
• $G$ がアメーブルであるとき、係数代数 $C(E^0) \rtimes G$ が核であることと、核性が Cuntz-Pimsner構成および商を介して保たれることから、$\mathcal{O}_{G,E}$ は核となる。
• $G = \mathbb{Z}$、$E$ が行列 $A$ を持つグラフであり、$\varphi$ が $mB_{ij} + n$ を $A_{ij}$ で割った余りによるユークリッド除法で定義されるとき、構成は Katsura代数 $\mathcal{O}_{A,B}$ を回復する。
• $E$ が1つの頂点と $X$ 個のエッジからなるバウレット（輪）であり、$\varphi(g,x) = g|_x$（自己相似群の意味での制限）であるとき、構成は Nekrashevych代数 $\mathcal{O}_{(G,X)}$ を回復する。
• $\mathcal{O}_{G,E}$ に関連する群のぐるみ $\mathcal{G}_{G,E}$ は、グラフ群のぐるみと同じ単位空間を持ち、半直積群値のラグ関数によって記述される。これは Kumjian-Pask-Raeburn-Renault の構成を一般化する。
• $G$ がアメーブルであり、$(G,E,\varphi)$ が残り自由（residually free）であるとき、$\mathcal{G}_{\text{tight}}(\mathcal{S}_{G,E})$ および $\mathcal{G}_{G,E}$ は両方ともアメーブル群のぐるみとなる。これは Nekrashevych による群のぐるみのアメーブル性に関する結果を拡張する。