[論文レビュー] Graphs of unitary matrices

Simone Severini|ArXiv.org|Mar 7, 2003

Graph theory and applications参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ行列に関連する有向グラフの構造的性質を調査し、特にカーレー有向グラフと一般の有向グラフに焦点を当てる。有限単純群は、対応するカーレー有向グラフがユニタリ行列のサポートであるような2元生成集合をもつことが証明され、ユニタリ有向グラフが完全マッチングと最適スパーナー容量を有することを確立し、連結ユニタリグラフにおけるハミルトン性に関する予想を支持する。

ABSTRACT

The support of a matrix M is the (0,1)-matrix with ij-th entry equal to 1 if the ij-th entry of M is non-zero, and equal to 0, otherwise. The digraph whose adjacency matrix is the support of M is said to be the digraph of M. This paper observes some structural properties of digraphs of unitary matrices.

研究の動機と目的

• ユニタリ行列のサポートとして現れる有向グラフの構造的性質を同定すること。
• 有限単純群のカーレー有向グラフがユニタリ行列の有向グラフとして実現可能かどうかを調査すること。
• ユニタリ有向グラフにおける完全マッチングおよび最適スパーナー容量の必要条件を特定すること。
• 連結ユニタリ有向グラフにおけるハミルトニアンサイクルの存在を検討し、組合せ的制約に基づく予想を提示すること。

提案手法

• 行列の有向グラフを、元の行列の非ゼロパターンから得られる(0,1)隣接行列として定義する。
• 群論的構成を用いて、任意の有限単純群Gに対して、カーレー有向グラフX(G;S)がユニタリ行列のサポートであるような2元生成集合Sが存在することを示す。
• 有限群上の表現理論とフーリエ解析を用いて、カーレー有向グラフの隣接行列と正則表現、ユニタリ構造との関係を確立する。
• コルーリング＝ホールのマッチング定理とユニタリ行列の性質を活用し、二部グラフとしてのユニタリ有向グラフに完全マッチングが存在することを証明する。
• エントロピーとスパーナー容量理論を用いて、ユニタリ有向グラフ内のエッジ族の最大ゼロエラー容量を計算し、頂点上での一様測度のもとでそれが2/nに等しいことを示す。
• 四角性や2頂点連結性といった組合せ的制約を分析し、ユニタリ有向グラフがハミルトニアンである条件を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の有限単純群は、そのカーレー有向グラフがユニタリ行列のサポートであるような2つの生成元によって生成可能か？
• RQ2 ユニタリ有向グラフは、特に二部グラフの場合に完全マッチングの存在にどのような構造的制約を課えるか？
• RQ3 ユニタリグラフDのエッジ族のスパーナー容量は何か？また、情報理論的測度とどのように関係するか？
• RQ4 連結ユニタリ有向グラフがハミルトニアンサイクルを保証される条件は何か？
• RQ5 ハミルトニアンでない原因となる禁止部分グラフ（例：クラウンや特定の4頂点部分グラフ）は存在するか？

主な発見

• 任意の有限単純群は、カーレー有向グラフX(G;S)がユニタリ行列のサポートであるような2元生成集合Sをもつ。
• 任意の二部グラフとしてのユニタリ有向グラフは、コルーリング＝ホールの定理とユニタリ構造のおかげで、少なくとも1つの完全マッチングをもつ。
• ユニタリグラフDのエッジ族のスパーナー容量は正確に2/nであり、頂点上の一様確率分布のもとで達成される。
• nが2から6の小規模な場合、四角性と完全2マッチングの両方が満たされれば、連結ユニタリ有向グラフにハミルトニアンサイクルが存在することが示される。
• クラウン（K_{1,3}）の存在がユニタリ有向グラフのハミルトニアン性を妨げることはない、反例が存在する。
• n次元超立体内およびデ・ブルイーン有向グラフがユニタリ行列の有向グラフとして実現可能であることが示され、これらが相互接続ネットワークアーキテクチャとしての関連性を有することを支持する。