[論文レビュー] Gravitational Thermodynamics of Schwarzschild-de Sitter Space

Claudio Teitelboim|ArXiv.org|Mar 27, 2002

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 26

ひとこと要約

この論文は、シュワルツシルト＝デジット空間の熱力学を、ブラックホールの事象の地平線と宇宙論的地平線を別個の熱力学的境界として扱う2つの異なる作用原理を用いて調査する。宇宙論的地平線を固定した場合、内部エネルギーは $ U = +m $ であり、ブラックホールの地平線を固定した場合、$ U = -m $ であることが判明し、両配置において負の比熱が生じるため、デジット空間内でのブラックホール形成に伴う熱力学的不安定性が示唆される。

ABSTRACT

The Euclidean Schwarzschild-de Sitter geometry may be considered as an extremum of two different action principles. If the thermodynamical parameters are held fixed at the cosmological horizon, one deals with the gravitational thermodynamical effects of the black hole but ignores those of the cosmological horizon. Conversely, if the macroscopical variables are held fixed at the black hole horizon, it is only the cosmological horizon thermodynamics which is dealt with. Both cases are analyzed. In particular, the internal energy U is calculated in the semiclassical approximation as a function of the mass parameter m of Schwarzschild de Sitter space. In the first case one finds U=+m, while in the second one gets U=-m. This suggests that de Sitter space is thermodynamically unstable under black hole formation.

研究の動機と目的

• 宇宙論的地平線とブラックホールの地平線を独立した熱力学的境界として扱う場合のシュワルツシルト＝デジット空間の熱力学的挙動を分析すること。
• ホライズンの周期が不一致を起こすユークリッド経路積分法における矛盾を解消するため、作用の2つの異なる極値条件を特定すること。
• 質量パラメータ $ m $ がいずれの地平線においても表面項として果たす役割を明確にし、温度またはエネルギーを固定した熱力学的系を可能にする。
• ブラックホールを伴うデジット空間が熱力学的に安定かどうかを、特にホーキング放射および地平線のダイナミクスの観点から調査すること。
• 負の比熱が系の長期的進化に与える影響を特定し、ネアリの解への合体が起こり得るかを検討すること。

提案手法

• 2つの地平線 $ r_+ $（ブラックホール）および $ r_{++} $（宇宙論的）を持つユークリッド的シュワルツシルト＝デジット計量を定式化し、$ f^2 = 1 - 2m/r - r^2/l^2 $ で定義される。
• 各地平線を熱力学的境界として扱うために、$ r_+ $ または $ r_{++} $ で境界条件を固定した作用原理を適用する。
• 表面項 $ -\beta_{+}m $ または $ +\beta_{++}m $ を用いたラクティル変換により、マイクロカノニカル系からカノニカル系に切り替える。
• 内部エネルギー $ U $ を $ m $ の関数として計算し、$ r_{++} $ を固定した場合 $ U = +m $、$ r_+ $ を固定した場合 $ U = -m $ であることが判明する。
• 比熱 $ C $ を $ C^{-1} = \frac{1}{4\pi} \frac{d}{dU}(f^2)'(r_H) $ を用いて導出し、$ dr_H/dU > 0 $ のため負であることが示される。
• 質量の変化に伴う地平線の進化を分析する：$ dr_+/dm > 0 $、$ dr_{++}/dm < 0 $ であり、$ m $ の増加に伴い地平線が近づくことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド的シュワルツシルト＝デジット解が、それぞれ別の熱力学的系に対応する2つの異なる作用原理の極値として有効に機能するか。
• RQ2 宇宙論的地平線を固定した場合の系の内部エネルギー $ U $ は何か。また、ブラックホールの地平線を固定した場合とどのように異なるか。
• RQ3 両システムの負の比熱が熱力学的安定性および長期的進化に与える影響は何か。
• RQ4 2つの地平線間の熱平衡は達成可能か。もし可能であれば、最終的な状態は何か。
• RQ5 系はネアリ解へと進化するか、それともホーキング放射を介した永久的なエネルギー交換が継続するか。

主な発見

• 宇宙論的地平線を境界として固定した場合、内部エネルギーは $ U = +m $ であり、ブラックホールからの正のエネルギー寄与に対応する。
• ブラックホールの地平線を境界として固定した場合、内部エネルギーは $ U = -m $ であり、宇宙論的地平線からの負のエネルギー寄与を示す。
• 両システムの比熱は負であり、$ dU/d\beta^{-1} < 0 $ により示され、熱揺らぎに対して熱力学的不安定性を示す。
• 質量パラメータ $ m $ は2つの地平線の接近を促進する。$ dr_+/dm > 0 $ および $ dr_{++}/dm < 0 $ より、$ 27m^2/l^2 \to 1 $ の極限で合体する。
• 系はネアリ解へと進化する可能性があり、この状態では $ r_+ = r_{++} $ であり、退化した地平線を有する熱平衡状態を表す。
• 熱平衡に到達しない可能性があり、代わりにホーキング放射を介した永久的なエネルギー交換が継続し、最終的な定常状態に至らない可能性がある。