[論文レビュー] Gravity in Complex Hermitian Space-Time

Ali H. Chamseddine|ArXiv.org|Oct 9, 2006

Experimental and Theoretical Physics Studies参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1945年のアインシュタインの統一場理論を一般化し、複素ヒルベルト時空におけるU(1,3)ゲージ理論を用いて重力を定式化する。ヒルベルト計量が重力場と電磁場を統合しており、特定の境界条件のもとで低エネルギー極限は、カリブ＝ラモン場と曲率カップリングを含むストリング理論の有効作用を再現する。

ABSTRACT

A generalized theory unifying gravity with electromagnetism was proposed by Einstein in 1945. He considered a Hermitian metric on a real space-time. In this work we review Einstein's idea and generalize it further to consider gravity in a complex Hermitian space-time.

研究の動機と目的

• 複素ヒルベルト時空における1945年アインシュタインの重力と電磁気のヒルベルト計量統一を一般化すること。
• U(1,3)群のゲージ理論として理論を定式化し、統一の対称性に基づく基礎を提供すること。
• 複素ヒルベルト多様体上の重力とストリング理論の低エネルギー有効作用との幾何的関係を確立すること。
• 虚数方向の計量の高次微分が、反対称テンソル場 $ B_{\mu\nu} $ やその高次導関数として一貫して導かれるかを特定すること。

提案手法

• U(1,3)群に従って変換する複素ビアイン $ e_{\mu}^{a} $ を導入し、ゲージ場 $ \omega_{\mu a}^{\quad b} $ が反ヒルベルト的であるように設定する。
• ゲージ場接続から曲率テンソル $ R_{\mu\nu a}^{\quad b} $ を定義し、ゲージ不変性を保証する。
• ゲージ不変なヒルベルト作用 $ I = \int d^4x \, |e| \, e^{\mu a} R_{\mu\nu a}^{\quad b} e_{b}^{\nu} $ を構成し、線形化極限でアインシュタイン作用に還元されることを示す。
• ストリング理論の有効作用と一致するように、虚数方向におけるヒルベルト計量の1階および2階微分に境界条件を課す。
• ビアインを実部と虚部に分解し、対称的重力場 $ G_{\mu\nu} $ と反対称的場 $ B_{\mu\nu} $ を抽出する。
• 虚数方向 $ y \to 0 $ の torsion と曲率の運動方程式を導出し、ストリング理論の運動方程式 $ \nabla^\mu H_{\mu\eta\tau} = 0 $ および修正されたアインシュタイン方程式を再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ゲージ理論的枠組みを用いて、複素ヒルベルト時空において重力と電磁気を幾何学的に統一できるか？
• RQ2 ヒルベルト重力理論の低エネルギー極限が、ストリング理論の有効作用を再現するか？
• RQ3 ストリング理論の運動方程式と一致させるために、複素化された計量にどのような境界条件が必要か？
• RQ4 虚数方向における計量の高次微分が、場強度 $ H_{\mu\nu\rho} $ や曲率テンソルとどのように関係するか？
• RQ5 複素次元における場の連続スペクトルが、整合性のために離散的になるように制限する対称性原理は存在するか？

主な発見

• U(1,3)ゲージ理論に基づくゲージ不変ヒルベルト作用は、線形化極限ではアインシュタインの作用を再現するが、非摂動的領域では非線形制約のため相違する。
• 反対称テンソル場 $ B_{\mu\nu} $ は $ U(1) $部分群に線形にカップルされ、線形極限では運動方程式が $ \partial_\nu B^{\mu\nu} = 0 $ に簡略化され、マクスウェル方程式と整合的である。
• 虚数方向 $ y \to 0 $ における torsion と曲率の境界条件から、ストリング理論の運動方程式 $ \nabla^\mu H_{\mu\eta\tau} = 0 $ および $ H_{\mu\nu\rho} $ を含む修正されたアインシュタイン方程式が導かれる。
• 虚数方向における計量の1階微分から $ G_{\mu\nu\rho} = \partial_\nu B_{\mu\rho} + \partial_\mu B_{\nu\rho} $ および $ B_{\mu\nu\rho} = -G_{\mu\rho,\nu} + G_{\nu\rho,\mu} $ が得られ、場の間の整合的関係が確立される。
• 高次曲率成分 $ G_{\mu\sigma\kappa\lambda} $ および $ B_{\mu\sigma\kappa\lambda} $ は、$ G_{\mu\nu} $ および $ B_{\mu\nu} $ の2階微分として摂動的に導出され、$ O(\partial G, \partial B) $ の補正項を伴う。
• 理論は、複素多様体上の単一のヒルベルト計量の成分として、計量とカリブ＝ラモン場の幾何学的統一を提供し、ストリング理論とのより深い関係を示唆する。