[論文レビュー] Grazing dynamics and dependence on initial conditions in certain systems with impacts

Andrzej Okniński, B. Radziszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2007

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 33被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、移動するストップを持つ1次元のバイブロインパクト系におけるスライディングダイナミクスと初期条件依存性を、Poincaré再帰写像を用いて周期軌道、安定性、吸引域の解析によって調査する。スライディング多様体に捕獲領域と禁忌領域が存在することを示し、特に高エネルギー状態および強制力の増大に伴い不安定な多様体に起因するフラクタル的吸引域境界が生じることを明らかにする。

ABSTRACT

Dynamics near the grazing manifold and basins of attraction for a motion of a material point in a gravitational field, colliding with a moving motion-limiting stop, are investigated. The Poincare map, describing evolution from an impact to the next impact, is derived. Periodic points are found and their stability is determined. The grazing manifold is computed and dynamics is approximated in its vicinity. It is shown that on the grazing manifold there are trapping as well as forbidden regions. Finally, basins of attraction are studied.

研究の動機と目的

• 非滑らかなインパクト系に伴う移動制約の下で、スライディング多様体付近の複雑なダイナミクスを理解すること。
• 共存する吸引子が存在する状況における、系の挙動が初期条件に依存する仕組みを調査すること。
• 1次元のバウンシングボールモデルにおける周期軌道およびスライディングダイナミクスの吸引域の構造を分析すること。
• スライディング多様体上の臨界点の役割とフラクタル的吸引域境界の出現を探索すること。
• 滑らかでない遷移付近での解析を可能にするために、正則化されたPoincaré写像を導出し、その挙動を分析すること。

提案手法

• インパクト間の運動に対してPoincaré再帰写像を導出し、系を重力下の質点が移動するリミッターと衝突するモデルとして定式化する。
• 非弾性衝突を表現するため、回復係数 $ R \in [0,1) $ を用い、衝突後の速度の進化を導出する。
• スライディング多様体付近での次回のインパクトまでの時間の陰関数を近似するために級数展開を適用する。
• スライディング多様体上での微分不可能性に対処するため、衝突後の加速度が消える臨界点を除き、Poincaré写像を正則化する。
• スライディング多様体付近での力学を線形化し、安定性を解析し、捕獲領域と禁忌領域を特定する。
• 数値シミュレーションを用いて、異なる吸引子に対する吸引域のフラクタル構造を可視化および分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 系のダイナミクスはスライディング多様体付近でどのように振る舞い、安定性および吸引子の共存にどのような意味を持つのか？
• RQ2 スライディング多様体上に存在する捕獲領域と禁忌領域の存在と構造は、何によって決定されるのか？
• RQ3 周期軌道およびスライディングダイナミクスの吸引域は、$ \lambda $ や $ R $ などの系パラメータの変化に伴いどのように変化するのか？
• RQ4 吸引域境界のフラクタル化の原因は何か？また、サドル型固定点の不安定多様体とどのように関係しているか？
• RQ5 Poincaré写像の正則化は、滑らかでない性質があるにもかかわらず、スライディング多様体付近での解析をどのように可能にするのか？

主な発見

• スライディング多様体には、系のダイナミクスと衝突条件によって明示的に定義される捕獲領域と禁忌領域が存在する。
• Poincaré写像はスライディング多様体上では微分不可能であるが、衝突後の加速度が消える臨界点を除き正則化可能である。
• $ \lambda \geq \lambda_{cr}^{(1)} = \frac{2\pi(1-R)}{1+R} $ の場合、不安定固定点 $ P_u^{(1)} $ が出現し、その安定多様体が吸引域境界の一部を形成する。
• $ \lambda $ がさらに増加すると、$ \lambda_{cr}^{(2)} = \frac{4\pi(1-R)}{1+R} $ で第二の固定点ペア $ P_s^{(2)} $ と $ P_u^{(2)} $ が出現し、追加の吸引域境界を寄与する。
• 高初期速度下では吸引域のフラクタル化が観察され、不安定多様体 $ W_s(P_u^{(1)}) $ および $ W_s(P_u^{(2)}) $ によって吸引域境界が破壊的に分割される。これはWhistonの予測を裏付ける。
• 式 (39) もしくは (40) で与えられる次回インパクトまでの時間の近似解は、スライディング多様体付近で有効であり、より広範なインパクト系へ一般化可能である。