[論文レビュー] Groebner bases over fields with valuations

Andrew J. Chan, Diane Maclagan|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、p進有理数などの valuation を持つ体上の多項式環に対して、Gröbner基底理論を拡張する。 Buchbergerアルゴリズムを係数の valuation を組み込むように変更し、valuation-awareな正規形を導入する。 Moraの接線錐アルゴリズムを変更したアルゴリズムを用いて、p進Gröbner基底が標準的なものよりも著しく小さくなることを示し、特に、p進基底のサイズが一定であるのに対し、標準基底が無限大に発散するような理想の族が存在することを示した。

ABSTRACT

Let K be a field with a valuation and let S be the polynomial ring S:= K[x_1,..., x_n]. We discuss the extension of Groebner theory to ideals in S, taking the valuations of coefficients into account, and describe the Buchberger algorithm in this context. In addition we discuss some implementation and complexity issues. The main motivation comes from tropical geometry, as tropical varieties can be defined using these Groebner bases, but we also give examples showing that the resulting Groebner bases can be substantially smaller than traditional Groebner bases. In the case K = Q with the p-adic valuation the algorithms have been implemented in a Macaulay 2 package.

研究の動機と目的

• Q に p進valuation を持つような、valuation を持つ体上の多項式環へのGröbner基底理論の拡張。
• 標準的な正規形アルゴリズムがvaluation を持つ体で失敗することを解決するため、適切な écart 関数を用いた修正された Mora の接線錐アルゴリズムを導入。
• 特に p進の場合に、valuation を持つ体上のGröbner基底が、従来のものよりも著しく小さくなることを示す。
• 非自明な valuation（例：p進valuation）を用いることで、tropical幾何学のための計算フレームワークを提供。
• 計算的手法により、理想の tropical 多様体が係数体にのみ依存し、valuation には依存しないことを証明。

提案手法

• 係数の valuation を考慮するために、valuation-aware な écart 関数を用いて正規形計算を変更することで、Buchbergerアルゴリズムを valuation を持つ状況に適応。
• valuation を持つ体の設定で終了を保証するため、標準的な正規形アルゴリズムの代わりに Mora の接線錐アルゴリズムの変種を採用。
• 重みベクトル w に対する初期理想を、項の最小 valuation を用いて定義。係数は valuation 環の最大イデアルを法として還元。
• valuation 環の剰余体を用いて初期形を定義し、体上の多項式環における初期理想の構成を可能に。
• Stanley分解とHilbert関数の議論を用いて、標準初期理想における生成数の上限を導出。
• 射影空間における開集合と変数の個数に関する帰納法を用いて、座標の valuation を超曲面を除いて任意に指定可能であることを構成的に示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なアルゴリズムが終了しない p進有理数 Q などの valuation を持つ体上の多項式環に対して、Gröbner基底アルゴリズムを拡張できるか？
• RQ2 特に p進の場合に、valuation を持つ体上のGröbner基底のサイズは、標準的な体上のものと比べてどの程度小さくなるか？
• RQ3 理想の tropical 多様体と係数体との関係は何か？ そして、これは計算的手法により証明可能か？
• RQ4 valuation が存在する状況で、重みベクトルに関する初期理想は効果的に計算可能か？ また、どのような性質を継承するか？
• RQ5 p進Gröbner基底が小さく保たれるが、標準Gröbner基底が無限大に発散するような理想を構成可能か？

主な発見

• 論文は、Q[x₁,x₂,x₃] における2つの同次生成元（次数 d=2e）からなる理想の族を構成し、2進Gröbner基底のサイズは一定であるのに対し、最小の標準Gröbner基底は d と共に無限大に発散することを示した。
• 任意の項順序に対して、このような理想の標準初期理想は少なくとも 1/2(d+3) 個の生成元を持つため、超線形な下界が得られた。
• 2進初期理想は ⟨x₁^d, x₂^e x₃^e⟩ であり、これは2進valuation における零重みベクトルに関するGröbner基底である。
• 理想 I のHilbert関数は、d ≤ t < 2d の範囲で 2(t−d+2 choose 2) に等しく、これは標準初期理想の生成数の下界を導出するのに用いられた。
• 理想の tropical 多様体は、生成子の係数体にのみ依存し、valuation には依存しない。これは計算的証明により示された。
• 著者らは、Macaulay2 用パッケージ「GrobnerValuations」を実装し、gfan にも初期版が利用可能である。