[論文レビュー] Gromov compactness theorem for stable curves

S. Ivashkovich, Vsevolod Shevchishin|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、任意の位相型をもつ擬全純曲線に対して一般化されたGromovコンパクト性定理を確立し、閉曲線でない場合、変化するほぼ複素構造、および完全実部分多様体上の境界条件を許容する。長くねじれた円筒上の擬全純写像に対する事前推定を用いて、曲線のHausdorff収束とバブルの制御を示し、ノード構造および境界成分をもつ安定曲線へのコンパクト性の拡張を、ノード曲線のモジュライ空間に自然な複素構造を導入することによって実現する。

ABSTRACT

We give a proof of the Gromov compactness theorem using the language of stable curves (i.e. cusp-curve of Gromov, or stable maps of Kontsevich and Manin) in general setting: An almost complex structure on a target manifold is only continuous and can vary; the curves are only assumed to have fixed ``topological type'', in particular they can be non-closed and the complex structures on them can vary arbitrarily. In connection with this, we study in §2 moduli spaces of nodal curves with boundary and define a natural complex structure for such moduli spaces. We obtain an apriori estimate for pseudoholomorphic maps of ``long cylinders'' (see §3), which gives a uniform description for degeneration of complex structure on the curves and for the ``bubbling'' phenomenon. It also implies the Hausdorff convergence of the curves. We also prove in §5 the compactness theorem for curves with boundary on totally real submanifolds. For this ``boundary'' case we give appropriate generalizations of all ``inner'' constructions and estimates.

研究の動機と目的

• 閉曲線でない、変化する複素構造を含む、任意の位相型をもつ擬全純曲線へのGromovコンパクト性定理の拡張。
• ノード曲線に境界をもつモジュライ空間の枠組みを構築し、それらに自然な複素構造を定義すること。
• 長くねじれた円筒上の擬全純写像に対する一様推定を確立し、複素構造の崩壊とバブル現象の制御を行う。
• 完全実部分多様体上の境界をもつ曲線のコンパクト性を、内部構成と推定の一般化を用いて証明すること。
• ほぼ複素構造の正則性を最小限に仮定した状況下で、曲線の崩壊とバブルの均一な記述を提供すること。

提案手法

• 長くねじれた円筒上の擬全純写像に対する事前推定を用いて、曲線列の挙動を制御する。
• ノード曲線に境界をもつモジュライ空間に自然な複素構造を構成し、幾何的解析を可能にする。
• Gromovの意味での安定曲線（カスプ曲線）およびKontsevich–Maninの安定写像の理論を用いて、崩壊の取り扱いを行う。
• 完全実部分多様体上の境界をもつ曲線の設定に、内部推定および幾何的技法を適応する。
• ターゲット多様体上のほぼ複素構造の連続性を主要仮定とし、滑らかさの要件を課さない。
• シリンダー推定と複素構造の崩壊の制御を組み合わせることで、曲線のHausdorff収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gromovコンパクト性定理は、任意の位相型および変化する複素構造をもつ曲線へどのように拡張できるか？
• RQ2 ノード曲線に境界をもつモジュライ空間に自然な複素構造は何か？ そして幾何的解析をどのように支援するか？
• RQ3 長くねじった円筒上の擬全純写像に対する一様推定は、複素構造の崩壊とバブル現象の両方を制御できるか？
• RQ4 閉じた場合に用いられる内部構成と推定は、完全実部分多様体上の境界をもつ曲線へどのように一般化できるか？
• RQ5 ほぼ複素構造の正則性を最小限に仮定した場合、擬全純曲線列のHausdorff収束を保証する条件は何か？

主な発見

• 本稿は、曲線が非閉的であっても、複素構造が任意に変化してもよい固定された位相型をもつ擬全純曲線に対するGromovコンパクト性定理を確立した。
• 長くねじった円筒上の擬全純写像に対する事前推定により、複素構造の崩壊とバブル現象の均一な記述が得られた。
• シリンダー推定と崩壊の制御の結果、曲線のHausdorff収束が証明された。
• ノード曲線に境界をもつモジュライ空間に自然な複素構造を定義し、境界制限付きの擬全純写像の幾何的取り扱いを可能にした。
• 内部構成と推定の適切な一般化を通じて、完全実部分多様体上の境界をもつ曲線へのコンパクト性定理が拡張された。
• ターゲット多様体上のほぼ複素構造は連続であると仮定するのみで、適用範囲を著しく広げた。