[論文レビュー] Gromov-Witten invariants of blow-ups

Andreas Gathmann|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 60

ひとこと要約

本稿では、凸な射影多様体の点における吹き上げの genus-zero Gromov-Witten 不変量を、元の多様体の不変量から明示的なアルゴリズムで計算する手法を提示する。これらの不変量が、指定された重複度や接線条件を持つ有理曲線を数えるという組合せ的意味を持つ条件を確立し、5次3次元多様体上の有理曲線の $d^{-3}$ 重複度といった古典的不変量を計算する新手法を提供するとともに、アーベル面上の多様な接線の数え上げを確認する。

ABSTRACT

In the first part of the paper, we give an explicit algorithm to compute the (genus zero) Gromov-Witten invariants of blow-ups of an arbitrary convex projective variety in some points if one knows the Gromov-Witten invariants of the original variety. In the second part, we specialize to blow-ups of P^r and show that many invariants of these blow-ups can be interpreted as numbers of rational curves on P^r having specified global multiplicities or tangent directions in the blown-up points. We give various numerical examples, including a new easy way to determine the famous multiplicity d^{-3} for d-fold coverings of rational curves on the quintic threefold, and, as an outlook, two examples of blow-ups along subvarieties, whose Gromov-Witten invariants lead to classical multisecant formulas.

研究の動機と目的

• 凸な射影多様体の点における吹き上げの Gromov-Witten 不変量を計算する体系的なアルゴリズムを開発すること。
• これらの不変量が、吹き上げた点における指定された重複度または接線条件を持つ曲線を数えるという幾何的・組合せ的意味を持つ条件を特定すること。
• このアルゴリズムを $\mathbb{P}^r$ の吹き上げに適用し、多様な接線の数え上げや5次3次元多様体上の有理曲線の古典的組合せ的不変量を回復すること。
• 高次元および複数点吹き上げにおける組合せ的解釈の限界を探索すること。
• 吹き上げを部分多様体に沿って行う場合の枠組みを拡張し、不変量を古典的な多様な接線の公式と結びつけること。

提案手法

• 本稿では、$X$ の点における吹き上げ $\tilde{X}$ の Gromov-Witten 不変量を、$X$ の不変量から、仮想基本類を用いた再帰的アルゴリズムとして構成する。
• 重要な恒等式を導入する：$ I_{\beta}^{X}(\gamma_1 \otimes \cdots \otimes \gamma_n \otimes pt) = I_{p^*\beta - E'}^{\tilde{X}}(p^*\gamma_1 \otimes \cdots \otimes p^*\gamma_n) $。この式により、$X$ と $\tilde{X}$ の不変量が結びつけられる。
• 例外的除集合クラス $E'$ に基づく再帰関係を用い、$e$ が負の場合は方程式 $\mathcal{E}_{H'+eE'}$ を適用して不変量を簡約する。
• $\tilde{X} = \tilde{\mathbb{P}}^r(s)$ の場合、$e$ を降下させながら不変量を計算し、コhomology類が $F$、$\gamma$、またはそれ以外であるかに応じて規則を適用する。
• 本稿では、「組合せ的」として定義される不変量とは、吹き上げた点において指定されたグローバルな重複度 $-e_i$ を持つ曲線を数える不変量であると定義する。
• 数値例を用いて結果を検証し、5次3次元多様体上の $d$ 重被覆の $d^{-3}$ 重複度や、$\mathbb{P}^4$ 内の一般な10次アーベル面の25個の6重接線を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点における $\mathbb{P}^r$ の吹き上げの Gromov-Witten 不変量が、指定された重複度または接線条件を持つ曲線を数えるという組合せ的意味を持つのはどのような条件下か？
• RQ2 このアルゴリズムは、5次3次元多様体上の有理曲線の $d$ 重被覆の $d^{-3}$ 重複度を、より新しくかつ簡潔な方法で計算できるか？
• RQ3 一般に $r \geq 4$ かつ $s \geq 2$、あるいは $r=3$ で点以外の条件がある場合、なぜ不変量が組合せ的に意味を持たないのか？
• RQ4 吹き上げ不変量が、多様な接線の数え上げといった古典的組合せ的不変量をどの程度回復できるか？
• RQ5 特に $h^1(C, f^*T_{\tilde{X}}) \neq 0$ の場合に、非凸な吹き上げにおける仮想基本類および安定写像理論はどのように振る舞うか？

主な発見

• このアルゴリズムは、凸多様体の点における吹き上げのすべての genus-zero Gromov-Witten 不変量を、元の多様体の不変量から正しく計算できる。
• $\tilde{\mathbb{P}}^r(1)$ では、すべての不変量が組合せ的である。これは、1つの吹き上げ点における指定された重複度を持つ曲線を数えることを意味する。
• $\tilde{\mathbb{P}}^3(s)$ で $s \leq 4$ かつ点条件のみの場合は、少数の例外を除きすべての不変量が組合せ的である。
• 本稿では、5次3次元多様体上の有理曲線の $d$ 重被覆の $d^{-3}$ 重複度を、吹き上げ不変量を用いた新しい導出がなされた。
• 5次元空間 $\mathbb{P}^4$ 内の一般な10次アーベル面の6重接線の数が25であることは、$I_{H' - 6E'}(1)$ の再帰的計算により確認された。
• $I_{H' - 3E'}(H^2)$ は $t = \frac{(d-1)(d-2)(d-3)}{3} - g(d-2)$ を与え、これは $K3$ 表面上の有理曲線の古典的結果と一致する。