[논문 리뷰] Gromov-Witten theory of K3 x P1 and quasi-Jacobi forms

Georg Oberdieck|arXiv (Cornell University)|2016. 05. 17.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 K3 표면 $S$에 대해 곡선 계열 $(\beta,1)$ 및 $(\beta,2)$ 에서 $S \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 이론을 해결하며, 생성 함수가 준자코비 형식임을 보이고, $S$의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 불변량과 일치함을 보여준다. Pandharipande와 저자의 추측의 특수한 경우를 증명하며, $S \times E$ 의 Gromov-Witten 불변량과 모듈리 공간 상의 선형 허지 적분에 응용한다.

ABSTRACT

Let $S$ be a K3 surface with primitive curve class $\beta$. We completely solve the relative Gromov-Witten theory of $S imes \mathbb{P}^1$ in classes $(\beta,1)$ and $(\beta,2)$. The generating series are quasi-Jacobi forms and equal to a corresponding series of genus $0$ Gromov-Witten invariants on the Hilbert scheme of $d$ points of $S$. This proves a special case of a conjecture of Pandharipande and the author. The new geometric input of the paper is a genus bound for hyperelliptic curves on K3 surfaces proven by Ciliberto and Knutsen. By exploiting various formal properties we find that a key generating series is determined by the very first few coefficients. Let $E$ be an elliptic curve. As collorary of our computations we prove that Gromov-Witten invariants of $S imes E$ in classes $(\beta,1)$ and $(\beta,2)$ are coefficients of the reciprocal of the Igusa cusp form. We also calculate several linear Hodge integrals on the moduli space of stable maps to a K3 surface and the Gromov-Witten invariants of an abelian threefold in classes of type $(1,1,d)$.

연구 동기 및 목표

• K3 표면 $S$ 와 그의 원시 곡선 계열 $\beta$ 에 대해, 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서 $S \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 불변량을 완전히 결정하는 것.
• 이 불변량의 생성 함수가 준자코비 형식임을 확립하는 것.
• Pandharipande와 저자의 추측의 특수한 경우를 증명하는 것 — 이는 $S \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 불변량과 $S$ 의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 불변량을 연결함.
• $S \times E$ 의 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서 Gromov-Witten 불변량을 계산하여, 이들이 Igusa 정점 형식의 역수의 계수임을 보이는 것.
• K3 표면으로의 안정적 매핑의 모듈리 공간 상의 선형 허지 적분과 아벨 3차원에서의 Gromov-Witten 불변량을 계산하는 것 — 곡선 계열 $(1,1,d)$ 에서의 경우.

제안 방법

• Ciliberto와 Knutsen이 확립한 K3 표면 상의 초타원 곡선에 대한 종수 한계를 활용하여 안정적 매핑의 기하학을 제약함.
• 생성 함수의 형식적 성질을 이용하여 핵심 함수가 첫 몇 계수로 결정됨을 보임.
• 준자코비 형식 이론을 적용하여 Gromov-Witten 생성 함수의 구조를 특성화함.
• 기하학적 및 표현론적 추론을 통해 $S \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 불변량과 $S$ 의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 불변량 간의 대응을 수립함.
• 생성 함수의 모듈러성 성질을 이용하여 $S \times E$ 의 불변량이 Igusa 정점 형식의 역수의 계수임을 도출함.
• 로컬라이제이션 및 가상 클래스 기법을 활용하여 선형 허지 적분과 아벨 3차원에서의 불변량을 계산함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서 $S \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 불변량은 준자코비 형식으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 이 불변량의 생성 함수는 $S$ 의 $d$ 개 점의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 Gromov-Witten 불변량과 일치하는가?
• RQ3 $S \times E$ 의 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서 Gromov-Witten 불변량은 Igusa 정점 형식의 역수의 계수인가?
• RQ4 K3 표면으로의 안정적 매핑의 모듈리 공간 상의 선형 허지 적분의 구조는 무엇인가?
• RQ5 형식 $(1,1,d)$ 의 곡선 계열에서 아벨 3차원의 Gromov-Witten 불변량은 무엇인가?

주요 결과

• 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서 $S \times \mathbb{P}^1$ 의 상대 Gromov-Witten 불변량의 생성 함수는 준자코비 형식이다.
• 이 생성 함수는 $S$ 의 $d$ 개 점의 Hilbert 스킴에서의 종수 0 Gromov-Witten 불변량과 일치하며, Pandharipande와 저자의 추측의 특수한 경우를 확인함.
• $S \times E$ 의 곡선 계열 $(\beta,1)$ 과 $(\beta,2)$ 에서의 Gromov-Witten 불변량은 Igusa 정점 형식의 역수의 계수이다.
• 생성 함수의 형식적 성질을 이용하여 K3 표면으로의 안정적 매핑의 모듈리 공간 상의 선형 허지 적분을 명시적으로 계산함.
• 동일한 프레임워크를 통해 아벨 3차원에서의 곡선 계열 $(1,1,d)$ 에서의 Gromov-Witten 불변량이 계산되었으며, 이는 방법의 적용 범위를 확장함.
• 초타원 곡선의 종수 한계와 형식적 성질 덕분에 핵심 생성 함수가 첫 몇 계수로 완전히 결정됨.