[論文レビュー] Gross-Pitaevskii non-linear dynamics for pseudo-spinor condensates

Alessandro Michelangeli, Alessandro Olgiati|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2017

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、グロス＝ピタエフスキー極限における多体シュレーディンガー方程式から、擬スピン子ボーズ＝アインシュタイン凝縮の有効非線形力学を厳密に導出する。系がグロス＝ピタエフスキー汎関数で規定される粒子当たりエネルギーを持つ完全凝縮状態から出発する場合、凝縮状態は時間経過に伴い維持され、ラビ結合項を含む結合非線形シュレーディンガー方程式系に従って進化することが示された。

ABSTRACT

We derive the equations for the non-linear effective dynamics of a so called pseudo-spinor Bose-Einstein condensate, which emerges from the linear many-body Schrödinger equation at the leading order in the number of particles. The considered system is a three-dimensional diluted gas of identical bosons with spin, possibly confined in space, and coupled with an external time-dependent magnetic field; particles also interact among themselves through a short-scale repulsive interaction. The limit of infinitely many particles is monitored in the physically relevant Gross-Pitaevskii scaling. In our main theorem, if at time zero the system is in a phase of complete condensation (at the level of the reduced one-body marginal) and with energy per particle fixed by the Gross-Pitaevskii functional, then such conditions persist also at later times, with the one-body orbital of the condensate evolving according to a system of non-linear cubic Schrödinger equations coupled among themselves through linear (Rabi) terms. The proof relies on an adaptation to the spinor setting of Pickl's projection counting method developed for the scalar case. Quantitative rates of convergence are available, but not made explicit because evidently non-optimal. In order to substantiate the formalism and the assumptions made in the main theorem, in an introductory section we review the mathematical formalisation of modern typical experiments with pseudo-spinor condensates.

研究の動機と目的

• 3次元の擬スピン子ボーズ＝アインシュタイン凝縮の有効非線形力学を、線形多体シュレーディンガー方程式から厳密に導出すること。
• グロス＝ピタエフスキースケーリング下で完全凝縮の維持と結合非線形シュレーディンガー系の出現を確立すること。
• ピクルの射影数え上げ法をスピン子系に拡張し、有効力学への収束速度を制御すること。
• 超冷却原子の現代的実験文脈においてグロス＝ピタエフスキー極限の物理的仮定を正当化すること。
• 最適化されていないが、多体系の力学から有効非線形進化への収束の定量的レートを提供すること。

提案手法

• ピクルの射影数え上げ法を多成分スピン子系に適応し、多体系状態の凝縮多様体に対する時間発展を追跡する。
• 相互作用強度が $ N^{-1} $ にスケーリングするグロス＝ピタエフスキースケーリング極限を用い、熱力学的極限における有効非線形力学を導出する。
• 部分トレースを用いて1体還元密度行列を定義し、凝縮の度合いを測定し、マクロな占有の維持を監視する。
• 短距離反発的相互作用を有するスピン1/2ボソンの希薄気体として系をモデル化し、時間に依存する外部磁場を導入する。
• 凝縮秩序パラメータの有効力学として、線形ラビ結合項を含む立方非線形シュレーディンガー方程式系を導出する。
• 作用素ノルムと相互作用ポテンシャルの境界を用いて、力学における誤差項を推定し、$ V_N $ のコンパクトな台とスケーリングの性質を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬スピン子凝縮で観測される有効非線形力学は、基礎となる線形多体系シュレーディンガー方程式から厳密に導出可能か？
• RQ2 2つのハイパーフィン状態を有するスピン子系において、完全ボーズ＝アインシュタイン凝縮はどのような条件下で時間的に維持されるか？
• RQ3 時間に依存する外部磁場によるラビ結合の存在が、凝縮の有効力学にどのように影響を与えるか？
• RQ4 グロス＝ピタエフスキー極限において、多体系力学から有効非線形シュレーディンガー系への収束速度はいかほどか？
• RQ5 射影数え上げ法は、内部自由度を有する多成分系へどの程度一般化可能か？

主な発見

• 系がグロス＝ピタエフスキー汎関数で規定される粒子当たりエネルギーを持つ完全凝縮状態から出発する場合、時間的にも常に完全凝縮状態にとどまる。
• 凝縮秩序パラメータは、ラビ結合項を含む結合非線形シュレーディンガー方程式系に従って進化する。
• 多体系力学から有効非線形力学への収束速度は、$ C(t)N^{-\beta/2 + 3\xi} $ で有界であり、$ \xi $ は小さい値で $ \beta = 1 $ であるが、最適ではない。
• 誤差推定は作用素ノルムの境界と、$ V_N $ の構造に基づいて導出され、$ L^2 $-ノルムで $ N^{-3/2} $ にスケーリングする。
• 主要結果の導出を可能にするために、ソフトコアポテンシャル極限（$ \beta < 1 $）と物理的グロス＝ピタエフスキー状態（$ \beta = 1 $）を結ぶ重要な技術的補題が得られた。
• 証明は、多体系状態の勾配ノルムの有界性と、射影数え上げ法による1体還元密度行列の制御に依存している。