[論文レビュー] Grothendieck Duality for Projective Deligne-Mumford Stacks

Fabio Nironi|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、射影的デリーニュ＝ムーディー スタックに対するグローテンディーク双対性を確立し、スキームへの射影的スタックからの準同型および代数的スタックの固有的表現可能射に対して双対化複体を構成する。滑らかな射影的スタックにおいては、通常の形でのセルレ双対性が成り立つことを証明し、コhen＝マカウルおよびゴレンシュタイン条件を用いて双対化線形束の特徴づけを行い、局所的完備交差スタックの双対化可逆線形束を明示的に計算する。

ABSTRACT

Abstract. We develop Grothendieck duality for projective Deligne-Mumford stacks, in particular we prove the existence of a dualizing complex for a morphism from a projective stack to a scheme and for a proper representable morphism of algebraic stacks. In the first case we explicitly compute the dualizing complex and prove that Serre duality holds for smooth projective stacks in its usual form. We prove also that a projective stack has dualizing sheaf if and only if it is Cohen-Macaulay, it has a dualizing sheaf that is an invertible sheaf if and only if it is Gorenstein and for local complete intersections we explicitly compute the invertible sheaf. As an application of this general machinery we compute the

研究の動機と目的

• 射影的デリーニュ＝ムーディー スタックに対するグローテンディーク双対性の包括的理論を構築すること。
• スキームへの射影的スタックからの準同型および代数的スタックの固有的表現可能射に対して双対化複体の存在を確立すること。
• 滑らかな射影的スタックにおいて、通常の形でのセルレ双対性が成り立つことを証明すること。
• 射影的スタックが双対化線形束をもつための条件、およびその線形束が可逆線形束であるための条件を、コhen＝マカウルおよびゴレンシュタイン条件を用いて特徴づけること。
• 局所的完備交差スタックに対して、双対化可逆線形束を明示的に計算すること。

提案手法

• 有理型層の導来圏における構造層の分解を用いた双対化複体の構成。
• コンパクト台付きコホモロジーおよびグローテンディークの局所双対性理論を用いて双対性同型を確立する。
• ベース・チェンジ定理およびスタックのための固有的ベース・チェンジを用いて、変形および特殊化における整合性を保証する。
• 射影的提示の存在を活用して、問題を既知のスキームの結果に還元し、それをスタックへと拡張する。
• 等変層および商スタックの理論を用いて、構成におけるスタック構造を扱う。
• 局所的完備交差のための標準的バンドル公式を用いて、双対化可逆線形束を明示的に計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローテンディーク双対性は射影的デリーニュ＝ムーディー スタックへと拡張可能か？ もし可能であれば、双対化複体はどのように構成されるか？
• RQ2 射影的スタックが双対化線形束をもつための条件は何か？ また、その線形束が可逆線形束であるための条件は何か？
• RQ3 滑らかな射影的デリーニュ＝ムーディー スタックにおいて、セルレ双対性は古典的形で成り立つか？
• RQ4 局所的完備交差スタックに対して、双対化可逆線形束をどのように明示的に計算できるか？
• RQ5 デリーニュ＝ムーディー スタックの文脈において、双対化複体と標準的バンドルの関係は何か？

主な発見

• 任意の射影的デリーニュ＝ムーディー スタックからスキームへの準同型に対して、双対化複体が存在する。
• 滑らかな射影的デリーニュ＝ムーディー スタックにおいて、セルレ双対性は通常の形で成り立つ。
• 射影的スタックが双対化線形束をもつための必要十分条件は、それがコhen＝マカウルであることである。
• 射影的スタックが双対化線形束をもつが、それが可逆線形束であるための必要十分条件は、それがゴレンシュタインであることである。
• 局所的完備交差スタックに対しては、双対化可逆線形束が明示的に計算可能であり、スタックの標準的バンドルと一致する。
• 双対化複体の構成はベース・チェンジと整合的であり、等変的手法によってスタック構造を尊重する。