[論文レビュー] Group actions on graphs and $C^*$-correspondences

Valentin Deaconu|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$C^*$-対応への群作用と、Cuntz-Pimsner代数における交叉積および固定点代数の構造との間の対応関係を確立する。テンソル表現の交換子を用いてDoplicher-Roberts代数を導入することで、適切な条件下で、コンパクト群作用下の$C^*$-対応の固定点代数がこの代数と同型であることを証明し、また交叉積がそれと強くモリタ同値であることを示す。主な結果は、離散的かつ局所有限なグラフへの有限群作用に対して、交叉積が$C^*$-対応のグラフと同型であり、かつグラフ代数と安定同型であるため、$K$-理論の計算が可能になることである。

ABSTRACT

If $G$ acts on a $C^*$-correspondence ${\mathcal H}$, then by the universal property $G$ acts on the Cuntz-Pimsner algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}$ and we study the crossed product ${\mathcal O}_{\mathcal H} times G$ and the fixed point algebra ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$. Using intertwiners, we define the Doplicher-Roberts algebra ${\mathcal O}_ρ$ of a representation $ρ$ of a compact group $G$ on ${\mathcal H}$ and prove that ${\mathcal O}_{\mathcal H}^G$ is isomorphic to ${\mathcal O}_ρ$. When the action of $G$ commutes with the gauge action on ${\mathcal O}_{\mathcal H}$, then $G$ acts also on the core algebras ${\mathcal O}_{\mathcal H}^{\mathbb T}$, where $\mathbb T$ denotes the unit circle. We give applications for the action of a group $G$ on the $C^*$-correspondence ${\mathcal H}_E$ associated to a directed graph $E$. If $G$ is finite and $E$ is discrete and locally finite, we prove that the crossed product $C^*(E) times G$ is isomorphic to the $C^*$-algebra of a graph of $C^*$-correspondences and stably isomorphic to a locally finite graph algebra. If $C^*(E)$ is simple and purely infinite and the action of $G$ is outer, then $C^*(E)^G$ and $C^*(E) times G$ are also simple and purely infinite with the same $K$-theory groups. We illustrate with several examples.

研究の動機と目的

• コンパクト群$G$が$C^*$-代数$A$上の$C^*$-対応$\mathcal{H}$に作用するとき、固定点代数$\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$と交叉積$\mathcal{O}_\mathcal{H} \rtimes G$の構造を研究すること。
• 群表現$\rho$のテンソル冪$\rho^n = \rho^{\otimes n}$の交換子$(\rho^m, \rho^n)$からなる$C^*$-代数$\mathcal{O}_\rho$を定義し、適切な条件下で$\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$と同型であることを確立すること。
• 位相的グラフへの群作用を、それらに付随する$C^*$-代数への作用へ拡張し、その結果得られる交叉積および固定点代数を分析すること。
• 離散的かつ局所有限なグラフ$E$への有限群作用に対して、交叉積$C^*(E) \rtimes G$が$C^*$-対応のグラフの$C^*$-代数と同型であり、$K$-理論の計算が可能になることを示すこと。

提案手法

• トポロジカルグラフ$E$に付随する$C^*$-対応$\mathcal{H}_E$に、$C_0(E^0)$および$C_c(E^1)$上の双対作用を介して群作用を定義し、Cuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}_{\mathcal{H}_E} = C^*(E)$へ拡張する。
• 群表現$\rho: G \to \mathcal{L}_\mathbb{C}(\mathcal{H})$のテンソル冪$\rho^n = \rho^{\otimes n}$の交換子$(\rho^m, \rho^n)$によって生成される$C^*$-代数$\mathcal{O}_\rho$をDoplicher-Roberts代数として構成する。
• C^*$-対応の普遍性を用いて、群作用を$\mathcal{H}$からCuntz-Pimsner代数$\mathcal{O}_\mathcal{H}$へ持ち上げ、$\mathbb{T}$のゲージ作用と整合性を持つように保証する。
• 離散的かつ局所有限なグラフ$E$に有限群$G$が作用する場合、$E^0$および$E^1$の軌道空間と安定化部分群の特徴を用いて、$C^*$-対応のグラフを構成し、交叉積$C^*(E) \rtimes G$をモデル化する。
• 交叉積$C^*(E) \rtimes G$がこの$C^*$-対応のグラフの$C^*$-代数と同型であり、したがってグラフ代数と安定同型であることを証明する。
• 群作用がゲージ作用と可換であることを活用して、$C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G \cong (C^*(E) \rtimes G)^\mathbb{T}$を示し、コアにAF代数の構造が得られることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群表現$\rho$が$C^*$-対応$\mathcal{H}$上に作用するとき、固定点代数$\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$がDoplicher-Roberts代数$\mathcal{O}_\rho$と同型となる条件は何か？
• RQ2 有限群作用の下でのグラフ$C^*$-代数の交叉積$C^*(E) \rtimes G$は、どのように$C^*$-対応のグラフとして記述できるか？
• RQ3 $C^*(E)$が単純かつ純粋無限で、作用が外的であるとき、$C^*(E)^G$および$C^*(E) \rtimes G$の$K$-理論は何か？
• RQ4 群$G$の作用がコアのAF代数$C^*(E)^\mathbb{T}$に与える影響は、$C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G$の構造にどのように関連するか？
• RQ5 有限群作用がグラフに作用する場合、Doplicher-Roberts代数$\mathcal{O}_\rho$はCuntz-Krieger代数のフルコーナーとして実現可能か？

主な発見

• 離散的かつ局所有限なグラフ$E$に有限群$G$が作用するとき、交叉積$C^*(E) \rtimes G$は、軌道空間と安定化部分群の特徴から構成された$C^*$-対応のグラフの$C^*$-代数と同型である。
• 交叉積$C^*(E) \rtimes G$はグラフ代数と安定同型であり、軌道グラフのインcidenc行列を用いて$K$-理論の計算が可能になる。
• $C^*(E)$が単純かつ純粋無限で、$G$-作用が外的であるとき、$C^*(E)^G$および$C^*(E) \rtimes G$はともに単純かつ純粋無限であり、同じ$K$-理論群を持つ。
• 適切な条件下で、固定点代数$\mathcal{O}_\mathcal{H}^G$はDoplicher-Roberts代数$\mathcal{O}_\rho$と同型であり、表現論的構成の$C^*$-代数的実現を与える。
• コアのAF代数$C^*(E)^\mathbb{T}$は$G$-作用で保存され、$C^*(E)^\mathbb{T} \rtimes G$は交叉積のコアと同型であり、AF代数をなす。
• 例として$S_3$が$\mathcal{O}_3$に作用する場合や$D_4$がクロスグラフに作用する場合、固定点代数および交叉積代数の$K$-理論は$\mathcal{O}_3$のそれと一致し、$K_0$は特定のインシデント行列$B$を用いた帰納的極限$\varinjlim(\mathbb{Z}^3, B)$で与えられる。