[論文レビュー] Groupoid-theoretical methods in the mapping class groups of surfaces

Nariya Kawazumi, Yusuke Kuno|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、非連結境界を持つコンパクトな向きつけられた曲面の写像類群を研究するために、群oids理論的手法を導入し、完備化されたゴールドマンリーリー代数を用いてデーン回転を一般化し、幾何的ジョーンズ同型を定義する。この手法により、『最小の』トーリー群を、基本群の下部中心系列から誘導されるプロ-nilpotent群に埋め込み、その層化商が境界が連結の場合に古典的ジョーンズ同型を回復することを示した。

ABSTRACT

We provide some language for algebraic study of the mapping class groups for surfaces with non-connected boundary. As applications, we generalize our previous results on Dehn twists to any compact connected oriented surfaces with non-empty boundary. Moreover we embed the `smallest' Torelli group in the sense of Putman into a pro-nilpotent group coming from the Goldman Lie algebra. The graded quotients of the embedding equal the Johnson homomorphisms of all degrees if the boundary is connected.

研究の動機と目的

• 境界が非連結である場合に、標準的なデーン＝ニールセン同型が単射でないため、非連結境界を持つ曲面の写像類群を研究するための群oids理論的枠組みを構築すること。
• これまで1つの境界成分を持つ genus g の曲面でのみ研究されてきた一般化されたデーン回転の理論を、空でない境界を持つ任意のコンパクトな連結向きつけられた曲面へ一般化すること。
• 完備化されたゴールドマンリーリー代数をターゲットとして用い、複数の境界成分を持つ曲面のトーリー群に対して幾何的ジョーンズ同型を構成すること。
• 表面の埋め込みに関してジョーンズ同型の自然性を確立し、表面の包含写像と整合性を持つようにすること。
• 境界が連結の場合に、『最小の』トーリー群のプロ-nilpotent群への埋め込みの層化商が、古典的ジョーンズ同型と一致することを示すこと。

提案手法

• 曲面 Σg,r の基本群oids のフル部分圏 C を導入し、境界成分ごとに少なくとも1つの基点をとることで、写像類群作用の単射性を回復する。
• 基本群の下部中心系列から誘導されるフィルトレーションを用いて、ゴールドマンリーリー代数の完備化として完備化されたゴールドマンリーリー代数を定義する。
• 基本群の完備化群環の導分を用いて、ゴールドマン括弧を介した写像類群作用をモデル化する。
• 埋め込み i: S ↪ S′ に対して、Lie代数準同型 i: L+(S, E) → L+(S′, E′) を構成し、ジョーンズ同型が表面の包含と整合することを保証する。
• 幾何的ジョーンズ同型 τ: I(Σg,r, E) → L+(Σg,r, E) を、完備化されたゴールドマンリーリー代数から誘導されるプロ-nilpotent Lie代数への埋め込みとして定義する。
• プタマンのトーリー群の生成子に関する結果を活用し、r = 1 の場合に τ の像がすべての次数におけるジョーンズ層を完全に捉えられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の境界成分を持つ曲面では、標準的なデーン＝ニールセン同型が単射でないため、写像類群作用はどのようにして研究可能か？
• RQ2 （例：図8文字型の曲線を含む）単純でない閉曲線に沿った一般化されたデーン回転は、r ≥ 2 の一般の場合に微分同相写像によって実現可能でないことを示せるか？
• RQ3 境界が非連結の場合に、高次のジョーンズ同型の適切なLie代数的ターゲットは何か？
• RQ4 ジョーンズ同型は表面の埋め込みに関してどのように振る舞い、包含写像に関して自然にできるか？
• RQ5 境界が連結の場合に、幾何的ジョーンズ同型の層化商が、古典的ジョーンズ同型をどの程度回復するか？

主な発見

• 図8文字型の曲線に沿った一般化されたデーン回転は、任意の空でない境界を持つコンパクトな連結向きつけられた曲面上のいかなる微分同相写像によっても実現されない。これは[17]の結果を、すべての空でない境界を持つコンパクトな連結向きつけられた曲面へ拡張したものである。
• 群oids C における写像類群作用は単射であり、複数の境界成分を持つ曲面を研究するにあたり強固な代数的枠組みを提供する。
• 幾何的ジョーンズ同型 τ は、『最小の』トーリー群（プタマンの意味で）を、完備化されたゴールドマンリーリー代数から誘導されるプロ-nilpotent Lie代数に埋め込む。
• 境界が連結（r = 1）の場合、τ の層化商は、すべての次数における古典的ジョーンズ同型と同型である。
• 表面の埋め込みに関して、τ は自然である。これは、τ と誘導されたLie代数準同型 i: L+(S, E) → L+(S′, E′) を含む図式の可換性によって示された。
• この構成はシンプレクティック展開と整合性を持ち、−λθ との同型写像を通じてマスユエの総ジョーンズ写像を回復し、従来の理論と整合することを確認した。