[論文レビュー] Groupoids: unifying internal and external symmetry

Alan Weinstein|ArXiv.org|Feb 4, 1996

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用数 250

ひとこと要約

本稿は、特にグローバルな自己同型が存在しない構造において従来の群が機能しない場合に、幾何的・解析的構造における内部対称性と外部対称性を統一的に記述するための代数的枠組みとして、群コホート（groupoids）を提案する。特にリー群コホートとその無限小版であるリー代数ダル（Lie algebroids）を用いることで、境界を持つ空間、特異的商空間、非推移的作用の対称性を特徴づけ、微分幾何学、境界付き多様体上の解析、変形量力学におけるその有用性を示している。

ABSTRACT

The aim of this paper is to explain, mostly through examples, what groupoids are and how they describe symmetry. We will begin with elementary examples, with discrete symmetry, and end with examples in the differentiable setting which involve Lie groupoids and their corresponding infinitesimal objects, Lie algebroids.

研究の動機と目的

• 群が単独で記述できない、非自明なグローバル自己同型を持たない構造において、群コホートが対称性をより包括的に記述できることを示すこと。
• 群作用が失敗する、タイル張りの平面や境界付き多様体などの局所的・内部的対称性を、群コホートが捉える方法を示すこと。
• リー群コホートとリー代数ダルが、境界付き多様体上のメルローズのb解析のような幾何的・解析的構造をモデル化する役割を果たすことを確立すること。
• 群コホートの畳み込み代数が、非可換幾何学および変形量力学における有用性を示すこと。
• 微分幾何学、位相幾何学、解析学、表現論といった多様な数学的分野を、群コホートという共通の枠組みで統一すること。

提案手法

• 長方形による平面のタイル張りなどの簡単な例を通じて、群コホートが対称性を記述する群の一般化であることを導入する。
• 空間 X 上のペア群コホートを導入し、各射（morphism）が x から y への対称性を表すペア (x,y) であることを定義することで、群作用の一般化を実現する。
• リー群コホートとその関連するリー代数ダルの概念を用いて、境界付き多様体上の b 接束 bTM などの幾何的構造をモデル化する。
• b余接束 bT*M と b擬微分作用素を用いて、境界付き多様体上の微分作用素を分析する。
• 吹き上げ構成（例：b(M×M)）を用いて、作用素のカーネルを群コホートに持ち上げ、畳み込みに基づく解析を可能にする。
• 群コホート b(M×M) の畳み込み代数が、b 擬微分作用素の代数に一致することを示し、幾何学と解析学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホートは、非自明なグローバル自己同型を持たない対象（例：有限のタイル張りの長方形）の対称性をどのように記述できるか？
• RQ2 リー群コホートとリー代数ダルは、境界付き多様体上の微分作用素をモデル化する上で果たす役割は何か？
• RQ3 群コホート構造 b(M×M) は、b 擬微分作用素とそのカーネルの解析をどのように統一するか？
• RQ4 群コホートの畳み込み代数は、非可換幾何学における悪く振る舞う商空間上の関数代数をどのように一般化するか？
• RQ5 群コホートとリー代数ダルの枠組みは、フラッグ多様体上のブルハット・ポアソン構造から生じる他の幾何的構造へも拡張可能か？

主な発見

• M×M のコーナーに沿って吹き上げることで得られる群コホート b(M×M) は、リー代数ダル bTM の普遍包あらゆる代数と同型である。
• 群コホート代数 b(M×M) 上の畳み込み演算は、b 擬微分作用素の合成則を正確に再現する。
• b 接束 bTM は、境界に接するベクトル場であり、無限遠で消えるものを含むリー代数ダルであり、境界付近での局所的基底は ∂/∂yi と x∂/∂x で与えられる。
• 群コホート b(M×M) は、M の内部上のペア群コホートと、境界上の群コホートの直和として代数的に分解可能であり、後者は法線線の向きを保つ線形同型からなる。
• bTM 上のベクトル場 x∂/∂x は境界で消えず、無限小の内向き方向を表しており、『無限小境界層』の存在を反映している。
• 群コホートとリー代数ダルの枠組みは、メルローズのb解析の幾何的基盤を提供し、擬微分作用素の理論を境界付き多様体へ拡張するとともに、ブルハット・ポアソン構造から生じる他のリー代数ダルへの一般化を示唆している。