[論文レビュー] Groups in which Squares and Cubes Commute

Geetha Venkataraman|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Mathematics and Applications参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、すべての元の平方と立方が可換である群がアーベル群であるかどうかを調査する。有限群および特定の無限群のクラス（例えば、局所有限群、残余有限群、残余p群）でこの条件を満たす群は、すべてアーベル群であることが証明される。主な貢献は、平方と立方が可換である任意の無限群において、ねじれ部分群がアーベル正規部分群であることを示したことである。さらに、追加の有限性条件のもとでは、群全体がアーベル群になることが示される。

ABSTRACT

If for all $a, b$ in a group $G$, we have that $a^2b^2 = b^2a^2$ and $a^3b^3 = b^3a^3$ then does the group necessarily have to be abelian? This paper shows that the answer is affirmative for finite groups as well as certain classes of infinite groups. In general we show that if $G$ is an infinite group in which squares commute and cubes commute then the set of torsion elements of $G$ denoted by $T(G)$ has to be an abelian normal subgroup of $G$.

研究の動機と目的

• すべての平方と立方が可換である群がアーベル群であるかどうかを特定すること。
• 有限群における可換なべき条件に関する既知の結果を無限群へと拡張すること。
• 可換べき条件を満たす無限群におけるねじれ部分群の構造を特徴づけること。
• 局所有限群、残余有限群、残余p群などのさまざまな群のクラスに対して、可換べき条件の意味を検討すること。
• 可換べき条件を満たす非アーベル無限群の存在に関する未解決問題を特定すること。

提案手法

• 有限群の理論およびSylow p部分群を用いて、平方と立方が可換である有限群がアーベル群であることを証明する。
• 互いに素な指数と要素の位数を扱う群論的技法を適用し、素数べき位数の要素からなる部分群が可換であることを示す。
• 自然数kが指数mまたはnのいずれかと互いに素である場合、集合{g ∈ G | g^k = e}が正規アーベル部分群をなすという事実を活用する。
• 局所X群および残余X群の概念を用いて、有限群からの結果をより広いクラスの無限群へ一般化する。
• 商のカルテジアン積の構造を用いて、べき可換条件を満たす残余X群がアーベル群であることを示す。
• 冪零群および局所冪零群に関する結果を応用し、ねじれ部分群T(G)のアーベル正規性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのa,b ∈ Gに対してa²b² = b²a²およびa³b³ = b³a³が成り立つ有限群Gは、必ずアーベル群であるか？
• RQ2 平方と立方の可換性を任意の互いに素な指数mとnへ一般化できるか。そして、その場合でも群がアーベル群であることが保証されるか？
• RQ3 平方と立方が可換である無限群において、ねじれ部分群T(G)は必ずアーベルかつ正規か？
• RQ4 局所有限群または残余有限群で可換べき条件を満たす群は、すべてアーベル群であるか？
• RQ5 ねじれ部分群がアーベルであり、かつある互いに素なm,nについて可換べき条件を満たす非アーベル無限群は存在するか？

主な発見

• すべてのa,b ∈ Gに対してa²b² = b²a²およびa³b³ = b³a³が成り立つ有限群Gは、必ずアーベル群である。
• より一般に、mとnが互いに素な自然数であり、すべてのa,b ∈ Gに対してa^m b^m = b^m a^mおよびa^n b^n = b^n a^nが成り立つならば、Gはアーベル群である。
• 任意の自然数m,nが互いに素で、可換べき条件を満たす無限群Gにおいて、ねじれ元の集合T(G)はアーベル正規部分群をなす。
• このような無限群GのすべてのSylow p部分群はアーベルであり、Gが無限p群である場合にはG自体がアーベル群である。
• Gが局所有限または残余有限であり、かつ可換べき条件を満たすならば、Gはアーベル群である。
• Gが素数pについて残余p群であり、可換べき条件を満たすならば、Gはアーベル群である。