[論文レビュー] Growth and generation in SL_2(Z/pZ)

H. A. Helfgott|ArXiv.org|Sep 1, 2005

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 43

ひとこと要約

本論文は、任意の生成集合に関して、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の部分集合が群の乗法において急速に成長することを確立し、任意の生成集合に関するカーレイ図の直径が絶対定数 $c$ を用いて $O((\log p)^c)$ で有界であることを証明する。主な結果として、ババイの予想が $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ に対して確認され、任意の要素が $O((\log p)^c)$ 個の生成元またはその逆元の積として表せることを示しており、$p$ や生成集合に依存しない定数を伴う。

ABSTRACT

We show that every subset of SL_2(Z/pZ) grows rapidly when it acts on itself by the group operation. It follows readily that, for every set of generators A of SL_2(Z/pZ), every element of SL_2(Z/pZ) can be expressed as a product of at most O((log p)^c) elements of the union of A and A^{-1}, where c and the implied constant are absolute.

研究の動機と目的

• 非アーベル有限単純群のカーレイ図の直径に関するババイの予想を解消すること、特に $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ に焦点を当てる。
• 生成集合に依存しない、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の部分集合における乗法的下での一様な多項式的成長の境界を確立すること。
• $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の任意の要素が、任意の生成集合 $A \cup A^{-1}$ からの要素の $O((\log p)^c)$ 個の積として表せることを証明すること。ここで $c$ および係数定数は絶対的である。
• 解析的手段（ステパノフの方法など）を避けて、$\mathbb{F}_p^*$ における和積現象の組合せ論的証明を提供し、それを用いて $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ における成長を導出すること。

提案手法

• 部分集合 $A \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ が真の部分群に含まれず、$|A| < p^{3-\delta}$ であるとき、$|A \cdot A \cdot A| > c|A|^{1+\epsilon}$ が成り立つという重要な補題を用いる。ここで $c, \epsilon > 0$ は $\delta$ のみに依存する絶対定数である。
• $\mathbb{F}_p^*$ における和積推定を用いて、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ における積の成長を制御する。解析的数論に依存せず、組合せ論的技法に依存する。
• $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ における語方程式 $w(g,h) = I$ の解の数を分析し、群を生成しないペアの数を多項式的制約と次数の考察を用いて上界で抑え込む。
• ほとんどすべての $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の要素のペアが群を生成し、短いループを含まないカーレイ図を生成することを示すための数え上げ的議論を用いる。
• カーレイ図に短いループがないことを利用して、反復的成長による直径の上限を導出する。短いループがない場合、集合 $\{g,h\}^k$ は急速に成長し、最終的に群全体を覆う。
• 鍵となる補題の (b) 部分を適用し、任意の生成ペア $\{g,h\}$ に対して、すべての要素が $O((\log p)^c)$ の長さの積として表せることを結論づける。ここで $c$ は絶対的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の生成集合に関して、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ のカーレイ図の直径が $p$ の多対数関数で有界にできるか？
• RQ2 真の部分群に含まれない部分集合 $A \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ が、三重積において急速に成長するか？
• RQ3 $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ に対して、スペクトルギャップやエクスパンダー図理論に依存せずに一様な直径境界を証明することは可能か？
• RQ4 $\mathbb{F}_p^*$ における和積現象を、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ のような行列群における成長を導出するためにどの程度利用できるか？
• RQ5 生成ペアのうち、直径が小さいカーレイ図を生成するものの割合はどの程度か？そして、その割合をどのように定量的に表現できるか？

主な発見

• 任意の生成集合 $A$ に対して、カーレイ図 $\Gamma(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), A)$ の直径は、ある絶対定数 $c$ を用いて $O((\log p)^c)$ で有界である。
• 真の部分群に含まれず、$|A| < p^{3-\delta}$ である任意の部分集合 $A \subset \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ に対して、三重積は $|A \cdot A \cdot A| > c|A|^{1+\epsilon}$ を満たす。ここで $c, \epsilon > 0$ は $\delta$ のみに依存する。
• 任意の生成集合 $A$ で $|A| > p^{\delta}$ である場合、$\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の任意の要素は、$A \cup A^{-1}$ の要素の最大 $k$ 個の積として表せる。ここで $k$ は $\delta$ のみに依存する。
• $\Gamma(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), A)$ におけるランダムウォークの混合時間は、$O(|A| (\log p)^{2c+1})$ で有界であり、$c$ および係数定数は絶対的である。
• ランダムな生成ペア $(g,h)$ に対して、$\Gamma(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}), \{g,h\})$ の直径は $O(\log p)$ であるが、$p \to \infty$ のとき確率は $1$ に近づき、係数定数は絶対的である。
• $\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を生成しない、または短いループを含む図を生成するペア $(g,h)$ の集合は、$o(|\mathscr{C}_p|)$ である。ここで $\mathscr{C}_p$ は生成ペアの集合である。