[論文レビュー] Growth in free groups (and other stories)

Igor Rivin|ArXiv.org|Nov 11, 1999

Analytic Number Theory Research参考文献 6被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、母関数とチェビシェフ多項式を用いて、自由群における巡回的に短縮可能な単語および共役類の分布と成長を調査する。要素は素数 p を法として漸近的に一様分布することを確立し、共役類の成長に対する明示的な有理母関数を導出し、正則グラフ上のウォークやマルコフ連鎖への枠組みの拡張を行い、原始的共役類のゼータ関数の有理性を証明する。

ABSTRACT

We start by studying the distribution of (cyclically reduced) elements of the free groups with respect to their abelianization. We derive an explicit generating function, and a limiting distribution, by means of certain results (of independent interest) on Chebyshev polynomials; we also prove that the reductions $\mod p$ ($p$ -- an arbitrary prime) of these classes are asymptotically equidistributed, and we study the deviation from equidistribution. We extend our techniques to a more general setting and use them to study the statistical properties of long cycles (and paths) on regular (directed and undirected) graphs. We return to the free group to study some growth functions of the number of conjugacy classes as a function of their cyclically reduced length.

研究の動機と目的

• 自由群における巡回的に短縮可能な単語のアーベル化およびホモロジー類による分布を理解すること。
• 与えられたアーベル化を持つこのような単語の数の明示的母関数を導出すること。
• これらの要素が素数 p を法として漸近的に一様分布することを分析し、誤差項を含むこと。
• この手法を正則グラフ上のウォークおよびマルコフ連鎖に拡張し、長いパスの分布の均等性を証明すること。
• 自由群における共役類の成長関数を研究し、それが有理的か無理的かを特定すること。

提案手法

• 自由群 $F_r$ における巡回的に短縮可能な単語と、$2r$ 個の頂点を持つ特定のグラフ $\mathcal{G}_r$ 上の閉路との間の対応関係を用いる。
• $\mathcal{G}_r$ の隣接行列のスペクトル理論を適用して、ホモロジー類ごとの単語数の母関数を導出する。
• 第1種チェビシェフ多項式の性質に依存して母関数を表現し、正の性質を証明する。
• 初等的な摂動理論を用いて、正則グラフおよびマルコフ連鎖上のウォークの分布の均等性を分析する。
• 隣接行列のべきのトレースを用いて、原始的共役類のゼータ関数を構成する。
• 行列式 $\det(I - uA(G))$ を用いて、$I - uA(G)$ の行列式による有理式を導出し、伊原のゼータ関数を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由群 $F_r$ における与えられた長さとアーベル化を持つ巡回的に短縮可能な単語の数の母関数は何か？
• RQ2 巡回的に短縮可能な単語は、素数 $p$ を法としてホモロジー類にどのように分布しているか？
• RQ3 これらの単語の分布が $p$ を法としてどれほど均等に分布しているか、誤差項は何か？
• RQ4 長さが有界な共役類の数の母関数は有理的か無理的か？
• RQ5 自由群における原始的共役類のゼータ関数の構造は何か？そしてそれは有理的か？

主な発見

• 与えられたアーベル化を持つ巡回的に短縮可能な単語の母関数は、第1種チェビシェフ多項式で表現される。
• 自由群 $F_r$ における巡回的に短縮可能な単語の分布は、長さ $n \to \infty$ のとき、チェビシェフ多項式の挙動と解析的に関連する極限分布に収束する。
• 自由群 $F_r$ における巡回的に短縮可能な単語の $p$ を法とした還元は、$H_1(F_r, \mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ の $p^r$ 個のホモロジー類に漸近的に一様分布し、明示的な誤差項が与えられる。
• 自由群 $F_r$ における原始的共役類のゼータ関数は有理的であり、$\zeta(F_r) = \frac{(1 - u^2)^{r-1}(1 - u)}{1 - (2r - 1)u}$ で与えられる。
• $F_k \times F_m$（$k, m \geq 1$）における共役類の母関数は無理的であり、自由群と有限群を含む直積においても同様である。
• 有限グラフ $G$ のゼータ関数は $\zeta_G(u) = \det(I - uA(G))$ であり、伊原のゼータ関数を一般化し、行列式による有理性を証明する。