[논문 리뷰] Growth of minimal word-length in Garside groups

Sagn Jin Lee|arXiv (Cornell University)|2004. 11. 22.

semigroups and automata theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Garside 군 G에 대해 ℤ ⋉ Gⁿ의 반직접곱을 구성하여 군 원소의 근과 거듭제곱을 분석함으로써 Garside 군 내에서 최소 단어 길이의 성장 양상을 연구한다. 거듭제곱의 최소 단어 길이가 지수에 대해 선형적으로 증가함을 증명함으로써 번역 수의 집합이 이산적임을 보이고, ℤ ⋉ Gⁿ에서 공轭 문제로의 환원을 통해 근 추출 문제의 결정 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

The Garside group, as a generalization of braid groups and Artin groups of finite types, is defined as the group of fractions of a Garside monoid. We show that the semidirect product of Garside monoids is a Garside monoid. We use the semidirect product Z ⋉ G n of the infinite cyclic group Z and the cartesian product G n of a Garside group G to study the properties of roots and powers of elements in G. The main result is an estimate of the growth of the minimal word-length of powers of elements in Garside groups, when the generating set is the set of simple elements. A direct application is that the set of translation numbers in Garside groups is discrete. It gives an affirmative answer to the question of Gersten and Short for the case of Garside groups. The original question is for biautomatic groups. And we show that the root extraction problem in a Garside group G can be reduced to a conjugacy problem in Z ⋉ G n. Using the algorithm for the conjugacy problem in Garside groups, the root extraction problem is decidable for any Garside group.

연구 동기 및 목표

• Garside 군 내 원소의 거듭제곱에 대한 최소 단어 길이의 성장 행동을 조사하기 위해.
• Garside 군 내 번역 수 집합이 이산적인지 여부를 규명하여 Gersten과 Short가 제기한 질문에 답하기 위해.
• 구축된 반직접곱 ℤ ⋉ Gⁿ에서의 공轭 문제로 Garside 군 내 근 추출 문제를 환원하기 위해.
• 기존의 공轭 문제 해결 알고리즘을 활용하여 Garside 군 내 근 추출의 결정 가능성을 확립하기 위해.

제안 방법

• 무한 순환군 ℤ와 Garside 군 G의 n중 곱 Gⁿ의 반직접곱 ℤ ⋉ Gⁿ을 구성하기 위해.
• ℤ ⋉ Gⁿ의 Garside 모노이드 구조를 이용하여 G 내 근과 거듭제곱의 성질을 분석하기 위해.
• 단순 원소의 집합을 생성자로 사용할 때 G의 원소들의 최소 단어 길이를 분석하기 위해.
• 구조적 군론 기법을 통해 G 내 근 추출 문제를 ℤ ⋉ Gⁿ에서의 공轭 문제로 환원하기 위해.
• Garside 군에서의 공轭 문제를 해결하는 데 사용 가능한 기존 알고리즘을 활용하여 근 추출 문제를 해결하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Garside 군 내 원소의 거듭제곱에 대한 최소 단어 길이가 지수에 따라 어떻게 성장하는가?
• RQ2 Garside 군 내 번역 수 집합은 이산적인가?
• RQ3 Garside 군 내 근 추출 문제를 기존에 결정 가능한 문제로 환원할 수 있는가?
• RQ4 Garside 군의 어떤 구조적 성질이 근과 거듭제곱의 효과적인 분석을 가능하게 하는가?

주요 결과

• Garside 군 내 원소의 n제곱에 대한 최소 단어 길이가 단순 원소의 집합을 생성자로 사용할 때 지수 n에 대해 선형적으로 증가한다.
• Garside 군 내 번역 수 집합은 이산적이며, 이는 Gersten과 Short의 질문에 대해 이 클래스의 군들에 대해 긍정적인 답변을 제공한다.
• Garside 군 내 근 추출 문제는 ℤ ⋉ Gⁿ에서의 공轭 문제로 환원되므로 결정 가능하다.
• 반직접곱 ℤ ⋉ Gⁿ는 Garside 모노이드 구조를 이어받아 군 원소의 효과적인 알고리즘적 분석이 가능하다.