[論文レビュー] Growth of $p$th means of analytic and subharmonic functions in the unit disc and angular distribution of zeros

Igor Chyzhykov|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、グリシンの理論にインspiredされた完全測度枠組みを導入することで、単位円板における解析関数および亜調和関数の$L^p$平均の成長に関する古典的結果を一般化する。$p \in (1,\infty)$ における $\log|f|$ の $p$ 乗平均の有界性および成長に関する鋭い必要十分条件を角零点分布の観点から確立し、マクレーンとルーベルの $L^2$-有界性に関する研究を $L^p$-空間および有限型関数へと拡張する。

ABSTRACT

Answering a question of A.Zygmund in \cite{MR} G.MacLane and L.Rubel described boundedness of $L_2$-norm w.r.t. the argument of $\log |B|$, where $B$ is a Blaschke product. We generalize their results in several directions. We describe growth of $p$th means, $p\in(1, \infty)$, of subharmonic functions bounded from above in the unit disc. Necessary and sufficient conditions are formulated in terms of the complete measure (of a subharmonic function) in the sense of A.Grishin. We also prove sharp estimates of the growth of $p$th means of analytic and subharmonic functions of finite order in the unit disc.

研究の動機と目的

• ブレーシュケ積 $B$ に対してマクレーンとルーベルが得た $L^2$-有界性の特徴付けを、$p \in (1,\infty)$ における $L^p$-平均へ一般化すること。
• 解析関数および亜調和関数の $\log|f|$ の $p$ 乗平均の成長率を決定づける角零点分布に関する明示的で幾何的な条件を提供すること。
• これらの結果を単位円板における有限型関数へ拡張し、鋭い成長推定を与えること。
• 亜調和関数の完全測度とその $p$ 乗平均の成長との間の関係を、角零点集中の観点から確立すること。

提案手法

• グリシンによって導入された、単位円板における亜調和関数の完全測度の概念を用いて、成長挙動を特徴付ける。
• $p$ 乗平均 $m_p(r,u) = \left(\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|u(re^{i\theta})|^p d\theta\right)^{1/p}$ および成長順序 $\rho_p[u] = \limsup_{r\uparrow 1} \frac{\log^+ m_p(r,u)}{-\log(1-r)}$ を定義する。
• 境界付近における零点の集中度を測るため、角領域 $\mathcal{C}(\varphi,\delta)$ を用いた幾何的零点分布モデルを導入する。
• 最大関数の推定と dyadic 分解技術を用いて、零点数関数の $L^p$-ノルムと $m_p(r,\log|f|)$ の成長を関連付ける。
• ポアソン積分および最大関数との比較を用いて、有界性および成長率の必要十分条件を導出する。
• テスト関数および明示的構成（例：$f(z) = \exp((1-z)^{-q-1})$）を用いて、推定の鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板における解析関数に対して、$p$ 乗平均 $m_p(r, \log|f|)$ が有界であるための、零点の角分布に関する必要十分条件は何か？
• RQ2 特に完全測度の観点から、上に有界な亜調和関数に対して $m_p(r, \log|f|)$ の成長はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 マクレーンとルーベルによる $\log|B|$ の $L^2$-有界性に関する結果を、$p \in (1,\infty)$ における $L^p$-空間へ拡張できるか。また、零点列にどのような幾何的条件が必要か？
• RQ4 有限型関数に対して $m_p(r, \log|f|)$ の鋭い成長率は何か。境界付近における零点分布とどのように関係するか？
• RQ5 $\psi_0$（零点密度に関連する関数）の $L^p$-可積分性と、$m_p(r, \log|B|)$ の $L^p$-有界性との関係は何か？

主な発見

• 任意の $p \in (1,\infty)$ に対して、$m_p(r, \log|B|)$ が $[0,1)$ 上で有界であるための必要十分条件は、$\psi_0 \in L^p(\partial\mathbb{D})$ であることである。ここで $\psi_0(\zeta) = \sum_{|a_n| \geq 1} \frac{(1-|a_n|)^2}{|\zeta - a_n|^2}$ である。
• 有限型関数に対して $m_p(r, \log|f|)$ の成長は、零点の角集中度によって鋭く推定される。$n(r,B) = O((1-r)^{-\alpha})$ ならば、$m_p(r, \log|f|) \asymp (1-r)^{\frac{1}{p} - \alpha}$ である。
• 幅 $\sim (1-r)^\gamma$ のストルツ角内に零点をもつブレーシュケ積に対して、$\gamma \geq 1$ のときその角領域内に含まれる零点数は $C(1-r)^{-\frac{1}{2}}$ で有界であり、$\gamma < 1$ のときには $C(1-r)^{-(1 - \frac{\gamma}{2})}$ で有界である。これは以前の結果の鋭さと一致する。
• 角領域 $\mathcal{C}(\varphi,\delta)$ における完全測度 $\lambda(\mathcal{C}(\varphi,\delta))$ の $L^p$-ノルムは、適切な零点分布仮定の下で $\left(\int_0^{2\pi} \lambda(\mathcal{C}(\varphi,\delta))^p d\varphi\right)^{1/p} \sim \delta^{1+s-\alpha}$ と漸近する（$\delta \downarrow 0$ のとき）。
• 関数 $f(z) = \exp\left(\left(\frac{1}{1-z}\right)^{q+1}\right)$ に対して、$p$ 乗平均は $m_p(r, \log|f|) \asymp (1-r)^{\frac{1}{p} - q - 1}$ と成長し、導出された推定の鋭さを確認する。
• $\sup_r m_p(r, \log|f|) < \infty$ を満たす十分条件として $n(r,f) = O((1-r)^{-1/p})$ が成り立ち、この境界は、より強い零点分布制約がない限り、改善できない（鋭い）。