[論文レビュー] Growth of Sobolev norms for the defocusing analytic NLS on T 2

R. Caccioppoli, Monte S. Angelo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、2次元トーラス上の非線形シュレーディンガー方程式の分散的で解析的でない非線形項に対して、任意の s > 1 に対して H^s ソボレフノルムにおける任意に大きな増大が生じうることを確立している。共振ダイナミクスと解析性を用いて、このような解の存在を証明し、その増大に至るまでの時間に関する定量的推定値を提示している。

ABSTRACT

We consider the completely resonant defocusing non–linear Schrodinger equation on the two dimensional torus with any analytic gauge invariant nonlinearity. Fix s > 1. We show the existence of solutions of this equation which achieve arbitrarily large growth of H s Sobolev norms. We also give estimates for the time required to attain this growth.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上の完全共振な分散的非線形シュレーディンガー方程式の解が、s > 1 に対して H^s ソボレフノルムにおいて無限大にまで増大する可能性があるかどうかを調査すること。
• 分散的非線形性のもかかわらず、その増大を可能にする解析性およびゲージ不変性の役割を分析すること。
• ソボレフノルムが任意のレベルにまで増大するまでの時間に関する定量的下界を確立すること。
• 解析的データをもつ完全共振ハミルトニアンPDEの長時間ダイナミクスの理解を拡張すること。

提案手法

• 2次元トーラスの完全な共鳴構造を活用し、エネルギーが低周波数から高周波数へとキャスケードする解を構成する。
• 非線形項の解析性を用いてフーリエ係数の増大を制御し、適切な定義を保証する。
• ゲージ不変性を用いてハミルトニアン構造を単純化し、共鳴相互作用を分離する。
• 正準形技法を適用し、高周波数の増大を体系的に追跡できる形に方程式を簡略化する。
• 共鳴波相互作用を通じたエネルギー移動の速度を分析することで、ソボレフノルムが増大するまでの時間を推定する。
• 解析性およびゲージ不変性を保つ反復近似法を用いて、明示的な解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 T² 上の分散的で解析的な NLS の解は、s > 1 に対して任意に大きな H^s ソボレフノルムの増大を示すことができるか？
• RQ2 このような増大が発生する最小の時間は何か？ そして、望ましいノルムの大きさに対してどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 解析性とゲージ不変性の組み合わせが、分散的系においてノルム増大の可能性に与える影響は何か？
• RQ4 この設定において、共鳴相互作用がソボレフノルムの増大をどの程度駆動しているか？
• RQ5 方程式の構造を用いて、任意のノルム増大に至る時間に関する明示的な下界を導出できるか？

主な発見

• 任意の s > 1 に対して、T² 上の分散的で解析的な NLS に対して、任意に大きな H^s ソボレフノルムに達する解が存在する。
• 完全な共鳴構造と解析的構造のおかげで、分散的非線形性のもかかわらず、ソボレフノルムの増大が可能である。
• 望ましいノルムの大きさに対して、ノルム増大に要する時間は、ノルムの大きさに関して多項式的におさまる。
• この構成は、非線形項の解析性および方程式のゲージ不変性に強く依存しており、ダイナミクスの制御に不可欠である。
• 結果として、完全共鳴条件下では、分散的系ですら高ソボレフノルムにおいて強い不安定性を示しうることを示している。
• 本研究は、任意のソボレフノルム増大に至るまでの時間に関する明示的な定量的推定値を提示しており、このようなダイナミクスの実現可能性を確認している。