[論文レビュー] Growth of the asymptotic dimension function for groups

G. Bell|ArXiv.org|Apr 28, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、有限生成群における漸近的次元関数の成長率を調査し、その関数の成長が、群のグラフにおける頂点群の次元関数の成長および相対的双曲的群における周辺部分群の成長によって制御されることを示している。主な結果として、このような群の漸近的次元関数の成長は、その構成要素である部分群の成長を超えないことが確立されており、これらの構成における次元成長の均一な上限が得られる。

ABSTRACT

It is relatively easy to construct a finitely generated group with infinite asymptotic dimension: the restricted wreath product of $\mathbb{Z}$ by $\mathbb{Z}$ provides an example. In light of this, it becomes interesting to consider the rate of growth of the asymptotic dimension function of a group. Loosely speaking, we measure the dimension on $λ$-scale and let $λ$ increase to infinity to recover the asymptotic dimension. In this paper we consider how the asymptotic dimension function is affected by different constructions involving groups.

研究の動機と目的

• 有限生成群における漸近的次元関数の成長を理解すること、特に漸近的次元が無限大である場合に注目する。
• 特に群のグラフ構成および相対的双曲的構造といった群の構成が、漸近的次元関数の成長率に与える影響を分析すること。
• 漸近的次元関数の成長が遅い（例えば多項式的に）条件を特定し、これと粗い幾何的性質（性質Aや正確性）を関連付けること。
• 特に準等長不変量および粗い埋め込みの文脈において、既知の漸近的次元に関する結果を関数レベルの成長に拡張すること。

提案手法

• 漸近的次元関数 $\operatorname{ad}_X(\lambda)$ を、Lebesgue数が少なくとも $\lambda$ である一様有界被覆の最小多重度から1を引いたものとして定義する。
• 実数値関数の成長率を比較するための準等長不変成長関係 $f \preceq g$ を用い、次元関数の成長率を比較する。
• 有限な漸近的次元を持つメトリック空間への等長群作用を用い、近傍の安定化部分群を分析することで、$\operatorname{ad}_\Gamma$ の成長を制御する。
• Osinの相対的双曲的群に関する結果を適用し、$S \cup \mathcal{H}$-距離における $R$-安定化集合 $W_R(e)$ の次元成長が制御可能であることを示す。
• 帰納法および有限和の定理を用い、$S \cup \mathcal{H}$-距離における球 $B(n)$ の次元関数が、周辺部分群 $H_\ell$ の次元関数を超えないことを示す。$\operatorname{ad}_{H_\ell} \leq f$ ならば $\operatorname{ad}_{B(n)} \preceq f$ である。
• 陪集合 $\gamma H_\ell$ が等長的かつ一様に分離されていることを利用し、それらの次元成長に対する一様な制御が可能であることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式的成長と指数的成長の間の途中の成長率で成長する群は存在するか？
• RQ2 有限な漸近的次元を持つ群の制限付きワルフィング積の漸近的次元関数は、多項式的に有界であるか？
• RQ3 多項式的漸近的次元成長を示す群のクラスは、制限付きワルフィング積の形成に関して閉じているか？
• RQ4 ある臨界的な成長率が存在し、それより遅い成長を示す群は性質Aを満たすか、ヒルバート空間への粗い埋め込みを許容するが、それより速い成長を示す群はそうではないか？
• RQ5 完全系列 $1 \to K \to G \to H \to 1$ に対して、$\operatorname{ad}_G \approx \max\{\operatorname{ad}_K, \operatorname{ad}_H\}$ が成り立つか？

主な発見

• 有限かつ連結な有限生成群のグラフ $\Gamma$ に対して、$\Gamma$ の漸近的次元関数は頂点群 $G_p$ のそれより速く成長しない。すなわち、$\operatorname{ad}_\Gamma \preceq \max_p \operatorname{ad}_{G_p}$ である。
• 部分群 $H_1, \dots, H_n$ に関して相対的双曲的である有限生成群 $\Gamma$ に対して、$\Gamma$ の漸近的次元関数は各 $H_i$ のそれより速く成長しない。したがって、すべての $i$ に対して $\operatorname{ad}_\Gamma \preceq \operatorname{ad}_{H_i}$ が成り立つ。
• 周辺部分群 $H_i$ の次元関数が関数 $f$ よりも速く成長しないならば、$\operatorname{ad}_\Gamma \preceq f$ が成り立ち、$\Gamma$ の成長に対する均一な制御が得られる。
• 漸近的次元関数の成長は、$\preceq$ 関係の意味で準等長的同値に関して不変であり、これにより準等長的空間間での比較が可能になる。
• Lebesgue数と多重度を制御する被覆の構成により、$S \cup \mathcal{H}$-距離における球のサイズに関する帰納法によって次元の上限が導かれる。
• 本手法により、漸近的次元関数の成長が部分線形的または多項式的である群がYuの性質Aを満たすことが確認され、成長と粗い幾何的不変量との関連が裏付けられる。