[論文レビュー] Guaranteed Control of Sampled Switched Systems using Semi-Lagrangian Schemes and One-Sided Lipschitz Constants

Adrien Le Coënt, Laurent Fribourg|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 28被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Euler近似軌道と正確な軌道のずれを制限するために片側リプシッツ（OSL）定数を活用することで、サンプリングされたスイッチング系に対して安全かつ到達可能性を保証する半ラグランジュスキームを提示する。この手法により、グリッド化された状態空間を用いて合成された制御則が、グリッドノード付近の初期状態に対して正式に正しく保証され、OSLに基づく誤差推定のもとで安全かつ到達可能性が保証される。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new method for ensuring formally that a controlled trajectory stay inside a given safety set S for a given duration T. Using a finite gridding X of S, we first synthesize, for a subset of initial nodes x of X , an admissible control for which the Euler-based approximate trajectories lie in S at t $\in$ [0,T]. We then give sufficient conditions which ensure that the exact trajectories, under the same control, also lie in S for t $\in$ [0,T], when starting at initial points 'close' to nodes x. The statement of such conditions relies on results giving estimates of the deviation of Euler-based approximate trajectories, using one-sided Lipschitz constants. We illustrate the interest of the method on several examples, including a stochastic one.

研究の動機と目的

• 有限時間ホライズン内で軌道が安全集合内にとどまるように保証する、サンプリングされたスイッチング系の形式的検証済み制御合成手法を開発すること。
• 標準のリプシッツ定数ではなく、片側リプシッツ（OSL）定数を用いることで、到達可能性解析における過剰近似誤差を低減すること。
• 不確実性および敵対的ダイナミクスを伴う状況でも、形式的保証を維持したまま、この手法を確率的確率微分方程式および2人零和ゲームに拡張すること。
• Eulerベースの軌道から導かれた近似制御則が、グリッドノード付近から出発する正確な軌道に対しても安全であることが保証される十分条件を提供すること。
• コンact状態空間におけるグリッド化と価値反復を用いた効率的かつスケーラブルな制御合成を可能にするとともに、OSLに基づく誤差バウンドを通じて正式な正しさを保証すること。

提案手法

• 安全集合 𝒮 に有限グリッドを適用して状態空間を離散化し、半ラグランジュ（SL）スキームを用いて事前に許容可能な制御パターンを計算する。
• 各グリッドノードに対して、候補となる制御入力を用いたEuler近似軌道を計算し、各サンプリング間隔 τ 内でそれが 𝒮 内にとどまるかを確認する。
• Euler近似軌道と正確な軌道のずれを片側リプシッツ（OSL）定数 λₐ で制限し、近似制御の保証を正確なダイナミクスへ正式に拡張可能にする。
• 近似軌道が 𝒮 内にとどまるならば、初期グリッドノードに近い初期状態から出発する正確な軌道も、全時間ホライズンにわたり 𝒮 内にとどまることが保証される十分条件を導出する。
• 安全および目標集合への到達可能性を保証するために、制御行動における最大最小最適化を用いて後退的インダクションにより価値関数を計算する。
• 敵対的および確率的ダイナミクスに適応したOSLに基づく誤差推定を用いることで、この手法を2人零和ゲームおよび確率的ODEに拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 片側リプシッツ（OSL）定数を用いて、スイッチング系におけるEuler近似軌道と正確な軌道の間の誤差を正式に制限できるか？
• RQ2 Euler近似軌道用に合成された制御則が、正確な軌道に対し安全であることが保証される条件は何か？
• RQ3 OSLに基づく誤差推定をどのように半ラグランジュスキームに統合することで、正式に保証された制御合成を可能にするか？
• RQ4 このアプローチを確率的確率微分方程式および2人零和ゲームに拡張可能か？ その際、形式的な安全および到達可能性の保証を維持できるか？
• RQ5 グリッド解像度と計算コストのトレードオフは、OSL誤差バウンドのもとで正式な正しさを維持する上での課題としてどのように現れるか？

主な発見

• 初期状態がグリッドノードから ε 以内の距離にある限り、OSLに基づく十分条件が満たされていれば、全時間ホライズン T にわたり正確な軌道が安全集合 𝒮 内にとどまることが保証される。
• OSL定数の使用により、特に剛性系において、標準のリプシッツ定数よりもきつい誤差バウンドが得られ、この手法の適用範囲が拡大される。
• 2タンク系の例では、この手法により、時間ホライズンにわたり安全境界内にシステムを維持する制御が成功裏に合成された。
• 確率的ODEへの拡張では、Euler-Maruyama近似にOSLに基づく誤差推定を適用することで、正式に安全な制御戦略が提供された。
• タグ・チェイスの微分ゲームでは、66ステップ目までに追跡者が逃走者から0.7単位以内に近づき、68ステップ以降に長さ16のリミットサイクルが観察された。
• シミュレーション実験はCPU時間で534秒を要し、各次元にN=10ノード、ε=0.31を用いた4次元状態空間でも実行可能であることが示された。