[論文レビュー] Guaranteed Transient Performance with $\mathcal{L}_1$ Adaptive Controller for Systems with Unknown Time-varying Parameters: Part I

Chengyu Cao, Naira Hovakimyan|ArXiv.org|Aug 15, 2006

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、時間変動する未知パラメータおよび有界な摂動を有するシステムにおいて、入力および出力信号の両方のトランスジェント応答が一様に有界であることを保証する $δ_1$ アダプティブ制御アーキテクチャを提示する。適応ゲインを増加させることで、追従誤差の $δ_\infty$ ノルムの上限を体系的に低減でき、時間遅れのマージンを劣化させることなく、トランスジェントおよび漸近的性能を向上させることができる。

ABSTRACT

This paper presents a novel adaptive control methodology for uncertain systems with time-varying unknown parameters and time-varying bounded disturbance. The adaptive controller ensures uniformly bounded transient and asymptotic tracking for system's both signals, input and output, simultaneously. The performance bounds can be systematically improved by increasing the adaptation gain. Simulations of a robotic arm with time-varying friction verify the theoretical findings.

研究の動機と目的

• 時間変動パラメータを有する制御における制御信号のトランスジェント性能が保証されていないという問題に対処する。
• 従来の手法で適応ゲインを増加させた際に生じる高周波数の制御信号の振動という問題を克服する。
• システム入力および出力信号の両方のトランスジェント応答が一様に有界であることを保証する。
• 適応ゲインを増加させることで性能の上限を体系的に改善する方法を提供する。
• 従来のアダプティブ制御手法とは対照的に、時間遅れマージンの安定性を維持する。

提案手法

• フィードバックループにローパスフィルタを組み込んだ新規な $δ_1$ アダプティブ制御アーキテクチャを導入し、制御信号内の高周波成分を減衰させる。
• 入力および出力信号が性能ベンチマークとして機能する、参照用の線形時不変（LTI）システムを設計する。
• $δ_1$ ゲイン解析を用いて、アダプティブシステムと参照LTIシステムとの間の誤差の $δ_\infty$ ノルムを上限付ける。
• 時間変動する不確実性および摂動を有する摂動付きLTI系として閉ループ系を定式化する。
• 感度関数 $G(s)$ と不確実性集合の上限 $L$ を用いて、$\|G(s)\|_{\mathcal{L}_1}L < 1$ の条件を用いて $δ_1$ 穏定性を検証する。
• 安定性条件を満たすために、$\Gamma_c = 10000$ の高い適応ゲインと $k = 60$ のゲインを用いてコントローラーを実装し、$\omega k > 30$ を満たすようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間変動パラメータを有するシステムにおいて、単一のアダプティブ制御アーキテクチャが、入力および出力信号の両方のトランスジェント応答を一様に有界に保証できるか？
• RQ2 適応ゲインを増加させることで、システムのロバストネスを劣化させることなく、追従誤差の $δ_\infty$ ノルムの上限を体系的に低減できるか？
• RQ3 高い適応ゲイン下でも、制御信号が滑らかで低周波数のままであり、高周波数の振動を避けることができるか？
• RQ4 従来のアダプティブ制御手法とは対照的に、$δ_1$ アーキテクチャでは適応ゲインを増加させても時間遅れマージンが保持されるか？
• RQ5 急激に変化する摂動および非線形性（例えばロボットアームにおける時間変動摩擦）の下で、コントローラーはどのように動作するか？

主な発見

• $δ_1$ アダプティブコントローラーは、入力および出力信号の両方のトランスジェント応答が一様に有界であり、適応ゲインを増加させることで $δ_\infty$ ノルムの誤差上限を体系的に低減可能である。
• 時間変動摩擦を有するロボットアームのシミュレーションにおいて、コントローラーは参照信号 $r(t) = \cos(\pi t)$ に対するほぼ完全な追従を達成し、図4(a)、5(a)、6(a)において $x_1(t)$ と $\hat{x}_1(t)$ がほとんど区別できないほどであった。
• 図6(b)に示すように、$\sigma(t) = \cos(x_1(t)) + 2\sin(100t) + \cos(150t)$ という高速変動する摂動に対しても、制御信号 $u(t)$ は滑らかで高周波数の振動を示さなかった。
• $δ_1$ 穏定性条件 $\|G(s)\|_{\mathcal{L}_1}L < 1$ は $\omega k > 30$ で満たされ、$\omega > 0.5$ の場合、$k = 60$ を設定することで安定性が保証された。
• シミュレーション結果から、コントローラーの性能が設計された摂動の周波数成分と一致しており、効果的な摂動抑制が実現されたことが確認された。
• 本手法は、第II部で証明されたように、保証されたトランスジェント性能と時間遅れマージンを維持する。これは、従来の手法とは対照的であり、高い適応ゲイン下で位相マージンが低下するという問題を回避する。