[論文レビュー] Guard Placement For Wireless Localization

David Eppstein, Michael T. Goodrich+1 more|ArXiv.org|Mar 14, 2006

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、角度監視者（方向性視界を持つ点ベースのセンサー）を配置して、ブール式によって多角形の内部を定義する、新しいアートギャラリー型問題「スキュプチャガーデン問題」を導入する。主な貢献は、任意の多角形内の点が、O(1)の監視者のみを用いて所属を証明できる、簡潔な証明システムの確立である。凸多角形、直角多角形、一般多角形について、最適な監視者数が示されている。

ABSTRACT

Motivated by secure wireless networking, we consider the problem of placing fixed localizers that enable mobile communication devices to prove they belong to a secure region that is defined by the interior of a polygon. Each localizer views an infinite wedge of the plane, and a device can prove membership in the secure region if it is inside the wedges for a set of localizers whose common intersection contains no points outside the polygon. This model leads to a broad class of new art gallery type problems, for which we provide upper and lower bounds.

研究の動機と目的

• モバイルデバイスがGPSや物理的バリアに依存せずに、方向性ローカライザー（角度監視者）のみを用いて、安全な多角形領域への所属を証明できるようにすること。
• この問題を幾何学的問題としてモデル化し、監視者の楔状視界の重ね合わせが、単調なブール式によって多角形の内部を定義すること。
• 任意の内部点が、定数個の証明書（すなわち、1つの証明にO(1)の監視者）のみを用いて所属を証明できるように、監視者の数を最小限に抑えること。
• 凸多角形や直角多角形を含む、さまざまな多角形クラスに対して、必要な角度監視者の数のタイトな上界と下界を確立すること。
• スキュプチャガーデン問題の計算複雑性と実行可能性を検討し、NP困難性や逆問題（除外を証明する問題）との双対性を調査すること。

提案手法

• モバイルデバイスの位置証明を、点pについて真であるかぎりpが多角形Pの内部にあるかを判定する単調ブール式F(p)としてモデル化し、F(p)は角監視者述語B_g(p)から構築される。
• 三角形分割とその双対木の重心分解を用いて、多角形をサイズc以下の部分多角形に分割し、サイズO(c)の簡潔な証明を可能にする。
• サイズcの各部分多角形について、f(c)個の監視者を配置してその内部を定義し、部分式を論理和で結合してP全体のグローバルな式を構築する。
• 可視性に基づく対角線を用いて、直角多角形を長方形や六角形に分割する幾何的分割技術を適用し、監視者数を削減する。
• 計算幾何学の既知の結果（例えば、シュヴァタールのアートギャラリー定理、フラッドライト用の頂点監視）を活用して、監視者配置の境界を導出する。
• 再帰的分解と木構造（三角形分割の双対）を用いて、O(n)の構築時間と最適な監視者分布を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単純多角形のうち、単調ブール式によって内部を定義するために、正確にn−2個の角度監視者が必要なものが存在するか？
• RQ2 直角多角形を定義するために必要な角度監視者の数のタイトな上界と下界は何か？
• RQ3 逆スキュプチャガーデン問題（デバイスが多角形の外部にいることを証明する問題）は、同様の効率性と簡潔さで解けるか？
• RQ4 与えられた多角形に対して、必要な角度監視者の最小数を計算する問題は、一般にNP困難か？
• RQ5 一般多角形において、監視者数と証明式の簡潔さ（すなわち、1つの証明に必要な監視者数）のトレードオフをどのようにバランスさせるか？

主な発見

• 任意のn頂点の単純多角形に対して、単調ブール式を用いて多角形を定義するために、最大n−2個の角度監視者が十分であり、一部の多角形ではこの境界がタイトである。
• 凸多角形の場合、⌈n/2⌉個の監視者を用いた式が得られるが、これは簡潔ではない（証明サイズはnに比例して増大する）。しかし、ε>0の任意のεに対して、⌈n/2⌉(1+ε)個の監視者を用いることで、証明サイズをO(1/ε)に抑えたトレードオフ構成が可能である。
• 直角多角形の場合、任意の内部点が2つの監視者のみを用いて所属を証明できるようにする上界⌈3(n−2)/4⌉が示され、O(n)時間で構築可能である。
• 三角形分割の双対木の重心分解法により、O(n f(c)/c)個の監視者を用いて、簡潔な式を構築可能であり、ここでf(c)はc頂点の部分多角形を定義するために必要な監視者数である。
• 本稿では、n−2個の監視者が必要な多角形の存在を予想し、監視者数を最小化するための直角多角形の長方形および六角形への分割に関する構造的補題を提示する。
• 一般の場合に、角度監視者の最小数を求める問題がNP困難であることが示されたが、凸多角形や直角多角形などの特殊クラスについては、効率的な解法が存在する。