[論文レビュー] H-CNNs: Convolutional Neural Networks for Riemannian Homogeneous Spaces.

Rudrasis Chakraborty, Monami Banerjee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2018

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、群論的および微分幾何的原則を活用して、球面、特殊直交群、対称正定値行列などの多様体を含むリーマン多様体への畳み込みニューラルネットワーク（CNN）の一般化を可能にする理論的枠組み、H-CNNを提案する。この手法は、これらの多様体上で回転に等長性を保つ。拡散MRIに関連する、3×3対称正定値行列の多様体およびR⁺×S²からの合成データを用いた概念実証実験が行われている。

ABSTRACT

Convolutional neural networks are ubiquitous in Machine Learning applications for solving a variety of problems. They however can not be used as is when data naturally reside on commonly encountered manifolds such as the sphere, the special orthogonal group, the Grassmanian, the manifold of symmetric positive definite matrices and others. Most recently, generalization of CNNs to data residing on a sphere has been reported by some research groups, which go by several names but we will refer to them as spherical CNNs (SCNNs). The key property of SCNNs distinct from the standard CNNs is that they exhibit the rotational equivariance property. In this paper, we theoretically generalize the SCNNs to Riemannian homogeneous manifolds, that include many commonly encountered manifolds including the aforementioned example manifolds. Proof of concept experiments involving synthetic data generated on the manifold of $(3 imes 3)$ symmetric positive definite matrices and the product manifold of $\mathbf{R}^+ imes \mathbf{S}^2$ respectively, are presented. These manifolds are commonly encountered in diffusion magnetic resonance imaging, a non-invasive medical imaging modality.

研究の動機と目的

• 球面、SO(n)、グラスマン多様体、対称正定値行列などの非ユークリッド的データが存在する多様体上での標準CNNの限界を解消すること。
• 回転に等長性を保ちつつ、球面CNN（SCNN）をより広いクラスのリーマン同次多様体へ一般化すること。
• 拡散MRIなどの医療画像モalityに適用可能な理論的裏付けのある深層学習フレームワークを構築すること。拡散MRIでは、データが自然に特定の多様体上に存在する。
• 3×3対称正定値行列の多様体およびR⁺×S²の積多様体からの合成データを用いて、手法の有効性を検証すること。

提案手法

• コンパクトなリー群の表現論に基づく。リーマン同次多様体上でのフィルタは、不可約ユニタリ表現を用いて定義される。
• 畳み込み演算は、多様体の対称性群における群畳み込みにより定義され、群作用の下で等長性が保証される。
• 2次元球面から任意のリーマン同次多様体へ数学的構造を拡張することで、球面CNNを一般化する。
• 理論的導出により、特徴マップが対称性群の作用の下で予測可能な方法で変換され、等長性が維持されることを保証する。
• コンパクトなリー群上の調和解析を用い、群上のフーリエ変換により空間的に局在化したフィルタを定義する。
• モデルは、群の不可約表現における係数でパrameter化された群畳み込み層を用いて実装される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準CNNをリーマン同次多様体へ一般化することは可能か？ その際、多様体の対称性群の下で等長性を保てるか？
• RQ2 群論的原則を用いて、球面、SO(n)、対称正定値行列などの多様体上での畳み込みをどのように定義できるか？
• RQ3 球面CNNを、推移的群作用を持つより広いクラスの多様体へ拡張するための理論的基盤は何か？
• RQ4 H-CNNは、3×3対称正定値行列の多様体からの合成データ、および拡散MRIに関連する多様体（例：R⁺×S²）でどのように性能を示すか？
• RQ5 提案されたフレームワークは、非ユークリッド的データ構造においても等長性と一般化性能を維持できるか？

主な発見

• 提案されたH-CNNフレームワークは、群論的畳み込み演算を埋め込むことで、CNNをリーマン同次多様体へ成功裏に一般化した。
• 2次元球面、SO(3)、対称正定値行列の多様体など、さまざまな多様体上で回転に等長性を達成した。
• 概念実証実験により、H-CNNが3×3対称正定値行列の多様体からの合成データ上で意味のある表現を学習できることを示した。
• R⁺×S²の積多様体に対しても、拡散MRIに一般的に見られる構造であるため、実装可能性が示された。
• 理論的枠組みにより、球面を超える多様体においても等長ネットワークを構築するための統一的数学的基盤が提供された。