[論文レビュー] Hölder Continuous Solutions to the Three-dimensional Prandtl System

Tianwen Luo, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、最近の研究に適応された凸統合技術を用いて、3次元プラントル系のホルダー連続な弱解を構築する。時間方向のホルダー正則性 $\frac{1}{21}-\epsilon$ および空間方向のホルダー正則性 $\frac{1}{10}-\epsilon$ を有する解の存在を確立し、二次流れでさえも許容する。これは3次元境界層理論における主要な課題を解決する。

ABSTRACT

Adapting the convex integration technique introduced by De Lellis and Sz{é}kelyhidi, we construct Hölder continuous weak solutions to the three dimensional Prandtl system and some other models with vertical viscosity.

研究の動機と目的

• 外流方向に対して横方向の接線速度を有する3次元プラントル系の弱解の存在を確立し、二次流れの発展を示す。
• 2次元とは異なり存在するが、3次元境界層における正則性の課題を克服する。
• 2次元および関連モデルで既に用いられている凸統合技術を、垂直粘性を有する3次元プラントル系へ拡張する。
• 一般に古典解が存在しないにもかかわらず、時間方向にホルダー正則性 $\frac{1}{21}-\epsilon$、空間方向に $\frac{1}{10}-\epsilon$ を有する解を構築する。
• コンパクトに台を持つ摂動の下で弱解の枠組みを提供し、発散なしで境界条件を満たす構造を保証する。

提案手法

• 文献[11, 22, 23]の凸統合技術を3次元プラントル系に適応し、垂直粘性を有する弱解を構築する。
• 古典解 $ (u_C, v_C) $ を基底とし、非圧縮性および平均ゼロ条件を満たす滑らかでコンパクトに台を持つ摂動 $ (\underline{u} - u_C, \underline{v} - v_C) $ を導入する。
• ベクトル場 $ \overline{\overline{D}}/Dt = \partial_t + \bar{U} \cdot \nabla_{x,y} $ の流れを用いた輸送に基づくカットオフ関数 $ \zeta(t,x,y) $ の構成を行い、支持の伝播を保証する。
• 剰余作用素 $ R^{kl}[H] $ を三つの成分の和 $ R_0^{kl}[H] + R_1^{kl}[H] + R_2^{kl}[H] $ として定義し、発散方程式を満たし、輸送作用素と可換となるようにする。
• 流れの構造とスケーリングを活用し、$ \zeta $ 及びその微分に関する推定を用いて、構築された解のホルダー半ノルムに対する一様な有界性を確立する。
• 輸送作用素と可換性を保つために、共対作用関係 $ \overline{\overline{D}}/Dt \circ R^{kl}[H] = R^{kl}[\overline{\overline{D}}/Dt H] $ を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次流れが存在する場合に、3次元プラントル系に対してホルダー連続な弱解を構築できるか？
• RQ2 単調性の欠如および横方向の流れが存在するにもかかわらず、垂直粘性を有する3次元プラントル系へ凸統合技術を拡張できるか？
• RQ3 この枠組み下で、時間および空間方向に達成可能な最良のホルダー正則性は何か？
• RQ4 コンパクトに台を持つ摂動をどのように用いることで、境界条件および非圧縮性条件を満たす解を生成できるか？
• RQ5 弱解の構造を保ちながら、ホルダーノルム $[u_k - \underline{u}, v_k - \underline{v}]_{\frac{1}{21}-\epsilon, \frac{1}{10}-\epsilon} < C_k$ を制御可能な解を構築することは可能か？

主な発見

• 本稿は、時間方向にホルダー正則性 $\frac{1}{21}-\epsilon$、空間方向に $\frac{1}{10}-\epsilon$ を有するホルダー連続な弱解の列 $ \{(u_k, v_k)\}_{k=1}^\infty $ を3次元プラントル系に対して構築する。
• 解は分布の意味で系を満たし、$ y=0 $ および $ y\to\infty $ におけるスリップ禁止および漸近的境界条件を満たす。
• 外流 $ U $ に対して横方向の接線速度を有するため、二次流れの発生を捉えることができる。
• 摂動 $ (\underline{u} - u_C, \underline{v} - v_C) $ は滑らかでコンパクトに台があり、$ \nabla_x \cdot \underline{u} + \partial_y \underline{v} = 0 $ および $ \int_{\mathbb{T}^2} (\underline{u} - u_C) dx = 0 $ を満たす。
• 弱解と基底摂動との差のホルダー半ノルムが定数 $ C_k $ によって一様に有界であり、正則性の制御が保証される。
• 発散方程式を満たし、輸送作用素と可換となるように修正された剰余作用素 $ R^{kl}[H] $ に依存しており、反復的構築を可能にする。