[論文レビュー] H\\"older gradient estimates for a class of singular or degenerate parabolic equations

Cyril Imbert, Tianling Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 31

ひとこと要約

本稿は、$ p \in (1,\infty) $ および $ \gamma \in (-1,\infty) $ である形の特異的または退化する放物型方程式 $ u_t = |\nabla u|^\gamma \left( \Delta u + (p-2)|\nabla u|^{-2} u_i u_j u_{ij} \right) $ の粘性解について、内部 Hölder 勾配推定値を確立する。著者らは修正された Ishii-Lions 法と正則化技術を用いて、空間的勾配 $ \nabla u $ が空間時間で Hölder 継続的であることを証明し、指数 $ \alpha \in (0,1) $ は $ n, \gamma, p $ および $ u $ の $ L^\infty $ ノルムにのみ依存し、定量的な $ C^{1,\alpha} $ 正則性結果が得られる。

ABSTRACT

We prove interior H\\"older estimate for the spatial gradients of the viscosity solutions to the singular or degenerate parabolic equation $$ u_t=|\ abla u|^{\\kappa}\\mbox{div} (|\ abla u|^{p-2}\ abla u), $$ where $p\\in (1,\\infty)$ and $\\kappa\\in (1-p,\\infty).$ This includes the from $L^\\infty$ to $C^{1,\\alpha}$ regularity for parabolic $p$-Laplacian equations in both divergence form with $\\kappa=0$, and non-divergence form with $\\kappa=2-p$. This work is a continuation of a paper by the last two authors \\cite{JS}.

研究の動機と目的

• 一般クラスの特異的または退化する放物型方程式の粘性解の空間的勾配に対する内部 Hölder 正則性推定値を確立すること。
• 発散型および非発散型の両方の放物型 p-ラプラシアン方程式を統一的な枠組みで取り扱うこと。
• 一般ケースにおける一様強楕円性の欠如を克服するため、Ishii-Lions 法に基づく新しい解析的技術を開発すること。
• 従来の $ \gamma = 0 $（発散型）および $ \gamma = p-2 $（非発散型）の結果を、$ \gamma \in (-1,\infty) $ の全範囲に拡張すること。

提案手法

• Ishii-Lions 法を二段階で適用：まず対数リプシッツ推定値を導出し、次にそれらをリプシッツ境界に高める。
• 非微分可能性を扱うために、元の方程式を滑らかな近似 $ \partial_t u = (|\nabla u|^2 + \varepsilon^2)^{\gamma/2} \left( \delta_{ij} + (p-2)\frac{u_i u_j}{|\nabla u|^2 + \varepsilon^2} \right) u_{ij} $ で正則化する。ここで $ \varepsilon \in (0,1) $ である。
• 正則化された方程式に対して $ \varepsilon $ に依存しない一様なリプシッツおよび Hölder 勾配推定値を確立し、その後極限操作によって元の方程式の結果を回復する。
• 非一様な右辺および変動する退化性に対処するため、非標準的なスケーリング $ Q_r^\rho $ を導入する。
• 空間および時間における振動制御を、補題 4.4 および 4.5 を用いて行い、先行研究の均一強楕円性に基づく議論を一般化する。
• 成長率 $ \gamma $ に応じて適応可能な連続性モジュラスの議論を適用し、$ \gamma $ の符号および大きさに応じて場合分けを行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方程式が一様強楕円性を欠く場合でも、特異的または退化する放物型 p-ラプラシアン方程式の粘性解に対して Hölder 勾配推定値を確立できるか？
• RQ2 Ishii-Lions 法を、$ \gamma \in (-1,\infty) $ で制御される変動する退化性を持つ非一様強楕円型方程式にどのように適応できるか？
• RQ3 発散型および非発散型の両方の放物型 p-ラプラシアン方程式に対する正則性理論を統一的に扱うアプローチは存在するか？
• RQ4 空間的勾配 $ \nabla u $ の最適な Hölder 指数 $ \alpha $ は何か？また、$ n, p, \gamma $ および $ \|u\|_{L^\infty} $ にどのように依存するか？
• RQ5 正則化された方程式に対して一様推定値を導出し、その後極限に取って元の特異的／退化する問題の結果を回復できるか？

主な発見

• 空間的勾配 $ \nabla u $ は $ Q_{1/2} $ で Hölder 継続的であり、$ \|\nabla u\|_{C^\alpha(Q_{1/2})} \leq C $ を満たす。ここで $ \alpha \in (0,1) $ および $ C > 0 $ は $ n, \gamma, p $ および $ \|u\|_{L^\infty(Q_1)} $ のみに依存する。
• 時間的 Hölder 正則性推定値が、指数 $ \frac{1+\alpha}{2 - \alpha \gamma} > \frac{1}{2} $ で成り立つ。これはすべての $ \alpha > 0 $ および $ \gamma > -1 $ に対して $ 1/2 $ よりも厳密に大きい。
• 証明は、$ n, \gamma, p, M = \|u\|_{L^\infty(Q_1)} $ のみに依存する新しい連続性モジュラス $ \rho^* $ を $ u $ に対して確立した。このモジュラスは対数リプシッツ、リプシッツ、および空間時間振動制御を統合している。
• 一様強楕円性の欠如を、二段階の Ishii-Lions アプローチと注意深いスケーリングを用いることで克服し、Krylov-Safonov 理論に依存する従来の結果を拡張した。
• $ \varepsilon \in (0,1) $ を用いた正則化技術により、$ \varepsilon $ に依存しない一様推定値が得られ、極限に取ることで元の特異的方程式の結果が証明された。
• 本結果により、発散型（$ \gamma = 0 $）および非発散型（$ \gamma = p-2 $）の両方の放物型 p-ラプラシアン方程式に対する統一的な $ C^{1,\alpha} $ 正則性理論が得られた。