[論文レビュー] h-Principle and Rigidity for $C^{1,\alpha}$ Isometric Embeddings

Sergio Conti, Camillo De Lellis+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、$C^{1,\bar{\alpha}}$ 等長埋め込みの h-原理を、低余次元（$m = n+1$）において $α < (1+n+n^2)^{-1}$ の場合に、導出された微分の制御と交換子推定による誤差管理を可能にする、滑らかさ作用素を用いた新規な凸統合スキームを用いて確立する。これはボリソフの解析的結果を一般の $C^{2,\beta}$ 度量へ拡張し、最適な正則性境界を証明し、等長埋め込みにおける余次元と正則性のトレードオフという長年の問いに解決をもたらす。

ABSTRACT

In this paper we study the embedding of Riemannian manifolds in low codimension. The well-known result of Nash and Kuiper says that any short embedding in codimension one can be uniformly approximated by $C^1$ isometric embeddings. This statement clearly cannot be true for $C^2$ embeddings in general, due to the classical rigidity in the Weyl problem. In fact Borisov extended the latter to embeddings of class $C^{1,\\alpha}$ with $\\alpha&gt;2/3$. On the other hand he announced in that the Nash-Kuiper statement can be extended to local $C^{1,\\alpha}$ embeddings with $\\alpha&lt;(1+n+n^2)^{-1}$, where $n$ is the dimension of the manifold, provided the metric is analytic. Subsequently a proof of the 2-dimensional case appeared. In this paper we provide analytic proofs of all these statements, for general dimension and general metric.

研究の動機と目的

• ボリソフが低余次元における $C^{1,\alpha}$ 等長埋め込みの h-原理をアナウンスした結果を、解析的でない一般の $C^{2,\beta}$ 度量へ拡張すること。
• 余次元 $n+1$ における局所的 $C^{1,\alpha}$ 等長埋め込みのための鋭い正則性閾値 $\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$ を確立すること。
• Källen の結果から得られる最適な写像範囲を、$\alpha < (l+\beta)/2$ かつ $l=0$, $\beta>0$ の場合に回復すること。
• 有限個の制御された微分を用いる凸統合を用いて、低余次元における h-原理の構成的・解析的証明を提供すること。

提案手法

• ナッシュの方法にインspiredされ、各反復ステップで滑らかさ作用素を用いて微分の損失を制御する凸統合を適応する。
• 畳み込みにおける交換子推定を用いて、滑らかさ作用素によって生じる誤差を制御する。
• 度量を有限差分スキームで近似し、等長条件を満たすように反復的に埋め込みを補正する。
• 画像における最大凸集合の議論を用いて外在的曲率を制御し、正則性を保証する。
• 剛性問題を外在的曲率のバウンディングに還元し、ガウス写像における幾何的議論と次数論を用いる。
• 局所的パラメトライゼーションを用い、外在的曲率が有界であると仮定することで、正則点近傍における凸性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低余次元 $n+1$ における $C^{1,\alpha}$ 等長埋め込みの h-原理は、解析的度量から一般の $C^{2,\beta}$ 度量へ拡張可能か？
• RQ2 低余次元における h-原理が成立するための最適な正則性閾値 $\alpha$ は何か？また、それは鋭いか？
• RQ3 凸統合法は有限個の微分のみを制御できるように適合可能か？無限回微分可能である必要はか？
• RQ4 画像の外在的曲率が有界ならば、$\alpha > 2/3$ の $C^{1,\alpha}$ 等長埋め込みにおいて剛性が成立するか？
• RQ5 $C^2$ の剛性と $C^1$ の柔軟性の対比が示唆するように、等長埋め込みにおける余次元と正則性の直接的なトレードオフがあるか？

主な発見

• $h$-原理は、$C^{1,\alpha}$ 等長埋め込みが余次元 $n+1$ において、すべての $\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$ で成立し、度量が $C^{2,\beta}$ である場合でも成り立つ。
• この論文は、$n \geq 2$ に対して一般の $n$ について、ボリソフのアナウンスされた結果の完全な解析的証明を提供する。解析的度量に限定されない。
• この方法は最適な正則性境界を達成し、$l=0$, $\beta>0$ の場合に $\alpha < (l+\beta)/2$ の鋭い閾値を回復し、Källen の結果と一致する。
• 著者らは、任意の $C^{2,\beta}$ 度量に対して、$\alpha < (1+n+n^2)^{-1}$ である $C^{1,\alpha}$ 等長埋め込みが存在することを証明した。これはナッシュ＝クイパーの柔軟性を低余次元に拡張するものである。
• 与えられた正則性仮定のもとで、埋め込みの画像は有界な外在的曲率を持つ。これは、ウェイリ問題の文脈における剛性を証明する上で鍵となる。
• 正則点（ガウス写像が局所的に単射である点）が稠密であり、このような点の近傍で表面が局所的に凸であることを証明した。これにより、有界な外在的曲率のもとで全体的な凸性が導かれる。