[論文レビュー] Hadamard matrices of small order and Yang conjecture

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、『組合せデザインのハンドブック』における過小評価を是正し、$4n$ 階のハダマール行列の138例の『悪い』ケースが、実際には近正規列および基本列の存在により『良い』ものであることを特定した。さらに、36, 38, 40 の $n$ に対して $NN(n)$ 同値類の一意性を証明したことで、40 までの偶数 $n$ に対してヤン予想が検証された。

ABSTRACT

We show that 138 odd values of n less than 10000 for which one knows how to construct a Hadamard matrix of order 4n have been overlooked in the recent handbook of combinatorial designs. There are four additional odd n, namely 191, 5767, 7081 and 8249, in that range for which we can construct a Hadamard matrix of order 4n. Our exhaustive computer searches show that the near-normal sequences NN(n) exist for n=36,38,40. Thus the Yang conjecture on the existence of NN(n) for all even n has been verified for n <= 40 but it still remains open.

研究の動機と目的

• ハダマール行列の $4n$ 階に対する138例の誤分類を是正すること。これらは『悪い』と誤って分類されていたが、実際には近正規列および基本列の存在により『良い』ものである。
• ヤン予想（$n$ が偶数のとき $NN(n)$ が存在する）が、40 までのすべての偶数 $n$ に対して成立することを検証すること。当初は反例の存在を予想していたが、その予想は裏付けられなかった。
• $n=191, 5767, 7081, 8249$ に対して $HM(4n)$ の存在が、基本列および近正規列に関する新規結果を用いて確立されることを示すこと。
• 修正されたケースに対して、ヤン乗算、$T$-列、直交設計を用いた $HM(4n)$ の明示的構成を提供すること。
• $NN(36)$, $NN(38)$, $NN(40)$ に対して $NN$-同値類の一意性を確立し、ヤン予想の未解決状態を強化すること。

提案手法

• Proposition 2.1 を適用し、$HM(4n)$ の存在が $NN(l)$, $BS(r,s)$, $BHW(4h)$, $WT(w)$ の存在と関連することを示し、ヤング乗算および直交設計による構成を用いる。
• $r,s$ が 36 までに及ぶゴイリオ列および基本列 ($BS(r,s)$) に関する既知の結果を用いる。$BS(37,36)$ は $NN(36)$ の存在を介して構成された。
• $NN$-同値類の標準形を活用し、SHARCNET 上の高性能コンピューティングを用いて、偶数 $n \leq 40$ に対する $NN$-同値類を体系的に列挙する。
• $HM(4n)$ の構成を、$NN(l) \times BS(r,s) \to TS(t) \to OD(4ht) \to HM(4dw)$ の連鎖により行い、奇数 $w < 2000$ の $WT(w)$ を既知のものとして用い、$w=35,127$ のデータを更新した。
• $NN(36)$ の存在を用いて $BS(37,36)$ の存在を検証する。$NN(36)$ は $NN$-同値類の標準形と全探索を用いて構成された。
• 先行研究の符号化方式を用いて、$NN(n)$ および $BS(r,s)$ をコンactかつ機械可読形式で表現し、検証性と再現性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ『組合せデザインのハンドブック』において、$4n$ 階のハダマール行列の138例が『悪い』と誤って分類されたのか？
• RQ2 近正規列および基本列を含む既知の構成を用いて、$n \in \Delta$ の $HM(4n)$ の存在を確立できるか？
• RQ3 ヤン予想（$n$ が偶数のとき $NN(n)$ が存在する）が、すべての偶数 $n \leq 40$ に対して成り立つか？
• RQ4 $n = 36, 38, 40$ の $NN(n)$ における $NN$-同値類の数は何か？ また、$n = 30$ を超えて一意性が保たれるか？
• RQ5 残りの4例 $n = 191, 5767, 7081, 8249$ に対して、現在の基本列および近正規列の知識を用いて $HM(4n)$ の存在を示せるか？

主な発見

• 『組合せデザインのハンドブック』で『悪い』と誤って分類されていた138例のハダマール行列（$HM(4n)$ が $t \geq 3$ を要すると考えられていた）は、実際には既知の構成により $HM(4n)$ を持つ『良い』ケースである。
• $n = 191, 5767, 7081, 8249$ に対して $HM(4n)$ の存在が $NN(36)$ および $BS(37,36)$ を用いて確立され、未解決の『悪い』ケースは864例に減少した。
• $NN(36)$, $NN(38)$, $NN(40)$ にはそれぞれちょうど1つの $NN$-同値類がある。これは、各々に対して一意な標準形が存在することを示し、当初の複数の同値類の存在予想は裏付けられなかった。
• $NN(40)$ の計算には SHARCNET で約1300日分の CPU 時間を要した。これは $n \leq 40$ に対する全探索の実行可能性を確認するものである。
• $BS(37,36)$ の構成は、$NN(36)$ の存在に依存しており、$NN$-同値類の標準形と全探索を用いてその存在が検証された。
• $n = 32, 34, 36, 38, 40$ に対する $NN(n)$ の明示的例が符号化形式で提供され、$NN$-同値類の観点から存在および一意性が確認された。