[論文レビュー] Hamiltonization of nonholonomic systems

А. В. Борисов, И. С. Мамаев|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2005

Control and Dynamics of Mobile Robots被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、チャプリジンの球およびヴェゼロヴァ問題を対象として、不完全な制約を持つ系をハミルトニアン形式に変換する一般化された手法を提示する。不変測度が存在する場合、時間変換を導入することで方程式をハミルトニアン形式に変換可能である。主な貢献は、積分可能なハミルトニアン系との同型写像およびポアソン括弧を系統立てて導出する手続きであり、チャプリジンの還元乗数法を $ b(q) \neq 0 $ を持つ一般化チャプリジン系へ拡張し、時間再パラメータ化によるハミルトニアン表現が可能となる条件を特定する。

ABSTRACT

We consider some issues of the representation in the Hamiltonian form of two problems of nonholonomic mechanics, namely, the Chaplygin's ball problem and the Veselova problem. We show that these systems can be written as generalized Chaplygin systems and can be integrated by the method of reducing multiplier. We also indicate the algebraic form of the Poisson brackets of these systems (after the time substitution). Generalizations of the problems are considered and new realizations of nonholonomic constraints are presented. Some nonholonomic systems with an invariant measure and a sufficient number of first integrals are indicated, for which the question of the representation in the Hamiltonian form is still open, even after the time substitution.

研究の動機と目的

• チャプリジンの還元乗数法を $ b(q) \neq 0 $ を持つ一般化チャプリジン系へ拡張し、ハミルトニアン表現を可能にする。
• 不変測度を有する非ホロノミック系が時間再パラメータ化によってハミルトニアン形式に変換可能となる条件を確立する。
• 特定の非ホロノミック問題に対して、明示的なポアソン構造および積分可能なハミルトニアン系との同型写像を導出する。
• 不変測度と十分な第一積分を有するが、時間再パラメータ化後もハミルトニゼーションが未解決のままとなるケースを同定する。

提案手法

• 一般化チャプリジン系は、$ S = a_1\dot{q}_1 + a_2\dot{q}_2 + b(q) $ の形の非ホロノミック制約を持つ運動方程式として定義され、ここで $ b(q) \neq 0 $ である。
• 時間再パラメータ化 $ N(q)\,dt = d\tau $ を適用し、$ \bar{S} $ を変更した新しい形式に方程式を変換するが、系の構造は保存される。
• ラグランジュ方程式を運動量 $ p_i = \partial \bar{L}/\partial q_i' $ を用いてハミルトニアン形式に変換するために、リーマン変換が用いられる。
• 密度 $ \rho(q) $ を持つ不変測度が存在する場合、$ N(q) = \rho(q) $ を選ぶことで $ \bar{S} = B(q) $ となり、座標にのみ依存する。
• 得られるポアソン括弧構造は $ \{q_i, p_j\} = \delta_{ij} $、$ \{p_1, p_2\} = \bar{S}(q) $、$ \{q_1, q_2\} = 0 $ であり、時間再パラメータ化後のハミルトニアン形式の実現を可能にする。
• 本手法はチャプリジンの球およびヴェゼロヴァ問題に適用され、これらが一般化チャプリジン系としての性質を有することを確認し、ポアソン構造が導出された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ b(q) \neq 0 $ であっても、時間再パラメータ化を用いることでチャプリジンの球問題をハミルトニアン形式に表現できるか？
• RQ2 不変測度を有する一般化チャプリジン系が時間再パラメータ化によってハミルトニアン系に変換可能となる条件は何か？
• RQ3 二次曲面の上を転がる非ホロノミックヤコビ問題（三軸楕円体上）は、カオス的振る舞いと自明なカシミール関数の欠如にもかかわらず、ハミルトニゼーション可能か？
• RQ4 還元乗数法は $ b(q) \neq 0 $ を持つ系へ一般化可能か？ そのポアソン構造に与える影響は何か？
• RQ5 不変測度と十分な第一積分を有する非ホロノミック系において、時間再パラメータ化後もハミルトニゼーションが不可能であるケースは存在するか？

主な発見

• チャプリジンの球問題およびヴェゼロヴァ問題が $ b(q) \neq 0 $ を持つ一般化チャプリジン系として特定され、時間再パラメータ化によりハミルトニアン形式に変換可能であることが示された。
• 不変測度が存在し、密度が $ \rho(q) $ である場合、$ N(q) = \rho(q) $ を選ぶことで $ \bar{S} = B(q) $ となり、座標依存のポアソン括弧構造が得られる。
• 得られるポアソン括弧は $ \{q_i, p_j\} = \delta_{ij} $、$ \{p_1, p_2\} = \bar{S}(q) $、$ \{q_1, q_2\} = 0 $ であり、時間再パラメータ化後のハミルトニアン構造の確認ができた。
• 本手法により、明示的なポアソン構造が導出され、研究対象の問題に対して既知の積分可能なハミルトニアン系との同型写像が確立された。
• 非ホロノミックヤコビ問題（三軸楕円体上を転がる）は未解決のケースのままである。不変測度と追加の積分が存在するが、本手法によるハミルトニゼーションは失敗し、カシミール関数も同定されなかった。
• 本稿では、ハミルトニゼーションの可能性が、求められるポアソン括弧の滑らかさおよび代数的構造に強く依存することを特定したが、特定の系ではこの問題は未解決のまま残っている。